Les médianes d’un triangle

Si vous êtes sur ce site, vous savez sûrement ce qu’est une médiane dans un triangle : une droite passant par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé.
On vous a sûrement appris, dès le collège, que les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle et souvent noté G.

Mais au fait, savez-vous démontrer le fait que les médianes sont concourantes ?

Cette propriété mathématique fait partie des résultats qu’un lycéen connait mais ne sait absolument pas démontrer (en général). Ce n’est pas de sa faute, on fait désormais très peu de démonstrations géométriques au collège et au lycée !

Nous proposons ci-dessous trois démonstrations de cette propriété. La première, classique, telle qu’on l’enseignait dans « l’ancien temps » et une seconde, bien plus expéditive… et enfin, une troisième en utilisant des aires.

Mais avant, fixons le contexte et les notations. On considère donc un triangle ABC quelconque. On note I, J et K les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].

Première démonstration

L’idée de cette première démonstration est simple : pour démontrer que trois droites sont concourantes, on considère le point d’intersection de deux d’entre elles et on montre que ce point est également sur la troisième droite.

On désigne donc par G le point d’intersection des deux médianes (BJ) et (CK) :

G = (BJ) \cap (CK)

Notons que ces deux médianes sont forcément sécantes car ce sont les diagonales du trapèze (BKJC).

L’idée de cette démonstration classique est de définir le point D symétrique de A par rapport au point G. Ainsi, on sait que les points A, G et D sont alignés. Noter qu’à ce stade, on ignore si le point I appartient au segment [GD] ou non. C’est d’ailleurs ce point que nous allons examiner en premier lieu.

Via la relation de Chasles, on a :

\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC}

Or, le point G étant le milieu du segment [AD], on a \overrightarrow{DA} = 2 \ \overrightarrow{GA}. De même, par définition, on a  \overrightarrow{AC} = 2 \ \overrightarrow{AJ}.

Ainsi, la relation vectorielle ci-dessus s’écrit :

\overrightarrow{DC} = 2 \ \overrightarrow{GA} + 2 \ \overrightarrow{AJ}

On factorise par 2 et via la relation de Chasles :

\overrightarrow{DC} = 2 \Bigl(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AJ}\Bigr) = 2 \ \overrightarrow{GJ}

Cela signifie que les vecteurs \overrightarrow{DC} et \overrightarrow{GJ} sont colinéaires. En conséquence, les droites (DC) et (GJ) sont parallèles.

Or, par définition, le point G est sur la médiane (BJ) donc on peut affirmer que :

(BG) // (DC)

On montre de même, en passant cette fois par le côté [AB], que :

(CG) // (DB)

Le quadrilatère (BDGC) a ses côtés opposés parallèles deux à deux, c’est donc un parallélogramme. Par conséquent, ses diagonales se coupent en leur milieu. Or le milieu de la diagonale [BC] est le point I. Ce point I est donc également le milieu de l’autre diagonale [GD]. En particulier, on a :

G, I et D alignés

Or, comme le point D est le symétrique du point A par rapport au point G, on a également :

G, A et D alignés

Finalement, les quatre points G, A, I et D sont alignés et en particulier :

G \in (AI)

On a donc montré que le centre de gravité G est sur la troisième médiane (AI).

En conclusion :

les trois médianes du triangle sont concourantes

Prolongements

Allons plus loin et précisons la position du centre de gravité G sur les médianes.

Par définition, puisque le point G est le milieu du segment [AD], on a :

\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{GD}

Mais on a également vu que le point I est le milieu du segment [GD] donc :

\overrightarrow{GD} = 2 \ \overrightarrow{GI}

D’où :

\overrightarrow{AG} = 2 \ \overrightarrow{GI}

Et via la relation de Chasles :

\overrightarrow{AG} = 2 \ \Bigl(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AI}\Bigr) = 2 \ \overrightarrow{GA} + 2 \ \overrightarrow{AI}

Il vient au final :

3\overrightarrow{AG} = 2 \ \overrightarrow{AI}

C’est-à-dire :

\overrightarrow{AG} = \frac23 \ \overrightarrow{AI}

Le centre de gravité G est situé aux deux tiers de la médiane
(en partant du sommet)

Maintenant que l’on dispose de cette relation, on peut aller encore plus loin en montrant que le centre de gravité du triangle est également l’isobarycentre des sommets. Pour cela, il suffit de montrer que la somme \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} est égale au vecteur nul.

D’après la relation de Chasles utilisée pour décomposer le deuxième et le troisième vecteur en introduisant le point A, on a :

\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 3 \ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}

Mais d’après la relation 3 \ \overrightarrow{GA} = 2 \ \overrightarrow{IA}, il vient :

\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2 \ \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}

Ce qui prouve que le centre de gravité du triangle est également l’isobarycentre des sommets du triangle. (Noter que cette propriété n’est plus valable dans un quadrilatère)

Deuxième démonstration

Nous allons maintenant être nettement plus efficace…

Reprenons tout depuis le début. On considère un triangle ABC quelconque. On note I, J et K les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].

Cette fois-ci, définissons le point G par la relation vectorielle :

\overrightarrow{AG} = \frac23 \ \overrightarrow{AI}

On a vu que cette relation entraîne que :

\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}

En introduisant le point I dans le deuxième et troisième vecteur, la relation de Chasles donne :

\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}

Et comme le point I est le milieu du segment [BC] :

\overrightarrow{GA} + 2 \ \overrightarrow{GI} = \overrightarrow{0}

Par conséquent les vecteurs \overrightarrow{GA} et \overrightarrow{GI} sont colinéaires. Donc les points A, G et I sont alignés :

G \in (AI)

Le point G défini plus haut est donc sur la médiane (AI).

Mais en faisant intervenir le point J puis le point K dans la relation \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}, on montre de même que :

G \in (BJ)  et  G \in (CK)

Nous avons donc exhibé un point, à savoir le point G défini par la relation vectorielle \overrightarrow{AG} = \frac23 \ \overrightarrow{AI}, qui se trouve donc sur les trois médianes du triangle.

En conclusion, on a donc bien démontré (efficacement) que les médianes du triangle sont concourantes !

Troisième démonstration

Nous allons maintenant proposer une démonstration qui utilise les aires.  Nous aurons besoin pour cela du petit lemme suivant :

Soit [AB] un segment de milieu I. Alors, quel que soit le point M du plan, les triangles AIM et BIM ont la même aire.

La démonstration de ce lemme est très simple. Il suffit de constater que les deux triangles en question ont des bases de même longueur (la moitié de celle du segment) et la même hauteur (à savoir MH) donc ils ont la même aire. En particulier, une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire.

Revenons à notre objectif (montrer que les médianes sont concourantes) et, comme dans la première démonstration, notons :

G = (BJ) \cap (CK)

Notons bien que nous ignorons, à ce stade, si G est ou n’est pas sur la troisième médiane (AI). On a donc la figure suivante :

Pour simplifier les choses, on convient que l’aire du triangle ABC est égale à 1. On a donc :

Aire(AIB) + Aire(AGI) + Aire(AGIC) = 1

Puisque la droite (AI) est une médiane, elle partage l’aire du triangle ABC en deux triangles de même aire (c’est le lemme). Par conséquent, la relation précédente s’écrit :

\frac12 + Aire(AGI) + Aire(AGIC) = 1

Calculons l’aire du quadrilatère AGIC qui se décompose en deux triangles GAC et GCI. On a via le lemme :

\begin{array}{rcl}Aire(AGIC) &=&Aire(GAC)+Aire(GCI)\\&=&Aire(GAC)+\frac12 Aire(GCB)\\& =& Aire(GAC) + \frac12 \Bigl(Aire(JCB) - Aire(JCG)\Bigr)\\&=& Aire(GAC) + \frac12 \Bigl(Aire(JAB) - Aire(JAG)\Bigr)\\& =& Aire(GAC) + \frac12 Aire(BAG) \\&=& Aire(GAC) + Aire(KAG) \\&=& Aire(KAC) = \frac12 \end{array}

Ouf !

Par conséquent :

Aire(AGI) = 0

Le triangle AGI est donc aplati. Cela prouve l’alignement des points A, G et I et c’est ce que nous voulions montrer pour en conclure que les médianes sont concourantes.

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