Le principe d’asymétrie

Question : si une quantité augmente de 25 %, alors de quel pourcentage doit-elle baisser pour revenir à son niveau initial ?

On sait qu’une augmentation de 25 % se traduit par un coefficient multiplicateur direct c_d = 1{,}25. Pour retrouver le coefficient multiplicateur réciproque c_r, on utilise la formule suivante :

c_d \times c_r = 1

On a donc :

c_r = \frac{1}{c_d} = \frac{1}{1{,}25} = \frac{1}{\frac54}=\frac45=0{,}8

Il faut donc appliquer une baisse de 20 % pour compenser la hausse de 25 %.

C’est le principe d’asymétrie entre le pourcentage d’évolution direct et le pourcentage d’évolution réciproque. (Pour un cours complet sur ce sujet, voir cette page sur les pourcentages)

Illustrons ce principe :

Il n’y a que quelques asymétries qui sont remarquables et qui sont données dans le tableau ci-dessous :

Évolution directe +25% +100% +150%
Évolution réciproque -20% -50% -60%

On peut reformuler ce tableau en terme de coefficients multiplicateurs ou de fractions décimales.

Évolution directe 1,25 (ou 5/4)
2 (ou 2/1)
2,5 (ou 5/2)
Évolution réciproque 0,8 (ou 4/5)
0,5 (ou 1/2)
0,4 (ou 2/5)

Dans la plupart des autres cas, le pourcentage ne tombe pas « rond ». Par exemple une hausse de 30 % (donc c_d=1{,}30) est compensée par une baisse de 23,08 % environ. En effet :

c_r = \frac{1}{1{,}30} \approx 0{,}7692

L’asymétrie est d’autant plus forte que les pourcentages le sont. Pour des très faibles pourcentages, l’asymétrie devient quasiment négligeable. Par exemple une hausse de 1 % sera compensée par une baisse de 0,99 % environ. En effet :

c_r = \frac{1}{1{,}01} \approx 0{,}9901

Au lieu de raisonner avec des coefficients multiplicateurs, on peut également raisonner en terme de taux d’évolutions. Dans ce cas, la formule c_d \times c_r = 1 s’écrit :

(1+t_d)(1+t_r)=1

t_d est le taux d’évolution direct et t_r le taux réciproque.

On en déduit la relation :

t_r = \frac{1}{1+t_d}-1=\frac{-t_d}{1+t_d}

Il apparaît ainsi que les taux t_d et t_r sont liés par la fonction homographique involutive suivante :

t \mapsto \frac{-t}{1+t}

Cette formule permet de convertir directement des pourcentages. Par exemple, si on a une hausse de 27 %, on applique la formule avec t=0{,}27 et on obtient :

\frac{-0{,}27}{1+0{,}27} \approx -0{,}2126

Une hausse de 27 % est donc compensée par une baisse de 21,26 %.

Le principe d’asymétrie admet des applications surprenantes. Nous en donnons quelques unes ci-dessous.

Pratiquer la désinformation

Dans un pays, le prix de l’essence, hors taxes, est de 0,60 € le litre. Avec les diverses taxes appliquées, le prix affiché à la pompe est de 1,50 €. Les taxes représentent donc 150 % du prix net de taxes. Mais pour éviter d’avouer un tel taux de prélèvement, le gouvernement fait un faux calcul et rapporte le montant des taxes (de 0,90 €) sur le prix à la pompe de 1,50 € et ainsi prétend que les taxes représentent 60 % du prix TTC. L’affirmation n’est pas fausse en soi mais la méthode est incorrecte : un montant de taxes doit toujours se calculer par rapport au prix HT en référence et non pas au prix TTC !
Question : quel est ce pays ?… réponse ici

 

Les actions concurrentes

Un couple possède des actions dans des sociétés concurrentes qui ont, à elles deux, le monopole d’un marché. Si bien que si une société perd quelques parts de marché, c’est systématiquement la société concurrente qui les récupère. Les deux conjoints ont investi exactement le même montant de 10000 € dans les actions respectives de ces deux sociétés. Au départ, la première société possède les 5 / 9 du marché et la seconde les 4 / 9 du marché.
Puis un jour, la première société périclite et perd 20 % de ses parts de marché. Elle perd donc l’équivalent de 1 / 9 du marché qui est récupéré par l’autre société. D’après le principe d’asymétrie, l’autre société augmente donc de 25 % ses parts de marché.
Faisons les comptes. Si Monsieur a investi 10000 € d’actions dans la première société, il perd 20 % et n’a plus que 8000 € d’actions. Pendant ce temps, madame est passée de 10000 € à 12500 €. Globalement, le couple a donc gagné 500 € sans rien faire alors que le marché n’a pas augmenté de volume !

Moralité : on a toujours intérêt à investir ses « billes » dans un projet mais aussi dans le projet opposé ou concurrent !

 

Le jeu avec ses métaux précieux virtuels

A et B sont complices et s’inscrivent tous les deux à un jeu en ligne dans lequel ils peuvent acheter des lingots d’or (OR) ou des lingots d’argent (AG).
Au moment de leur inscription, on a le cours suivant : 1 OR = 2 AG (ou 1 AG = 0,5 OR)
Le joueur A achète pour 100 € d’OR. Le joueur B achète pour 100 € d’AG.
Ils ont donc investi 200 € à eux deux. Puis ils attendent que le taux évolue.
Si l’or augmente, par exemple de 25 %, alors 1 OR = 2,5 AG et donc 1 AG = 0,4 OR.
A vend son OR en faisant 25 % de plus-value et récupère 125 €.
B vend son AG en faisant une moins-value de 20 % (principe d’asymétrie) et ne récupère donc que 80 €.
Ils sortent alors du jeu avec 205 € à eux deux. Gain = 5 €.
Si c’est l’argent qui augmente, par exemple de 25 % alors 1 AG = 0,625 OR et 1 OR = 1,6 AG.
B vend son AG en faisant 25 % de plus-value et récupère 125 €.
A vend son OR en faisant une moins-value de 20 % (principe d’asymétrie) et ne récupère donc que 80 €.
Ils sortent alors du jeu avec 205 € à eux deux. Gain = 5 €.
Dans tous les cas, ils sont gagnants et ceci quels que soient les pourcentages d’évolution et quel que soit le sens dans lequel le cours OR / AG évolue.

Moralité : là encore, en investissant sur un cours et son opposé et en exploitant l’asymétrie, les deux joueurs complices, systématiquement, sortent globalement gagnants du jeu.

 

Application le marché des devises (forex)

Sur ce sujet, voir cette page qui explique une méthode basée sur le principe d’asymétrie qui permet, théoriquement, de dégager des gains en bourse avec une probabilité proche de 1.

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