La formule du multinôme

Tout le monde ici connaît les identités remarquables usuelles (de degré 2) telles que :

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(a + b)(a-b) = a^2 - b^2

Mais existe-t-il encore ce genre d’identités remarquables pour des degrés supérieurs ?
Et que se passe-t-il si on a plus de 2 termes dans la parenthèse ?
Par exemple, comment développer le produit suivant ?

(a + b + c)^4

Déjà, au lycée, on voit la formule du binôme de Newton :

\displaystyle (a + b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^k

Cette formule peut se démontrer par récurrence ou par « contemplation ». En effet, rien qu’en la contemplant attentivement, on peut comprendre sa logique. Pour cela, il faut imaginer que l’on souhaite développer le produit suivant :

(a + b)(a + b)(a + b) ... (a+b)

Dans ce produit, il y a n facteurs. En développant, on prendra tantôt un a et tantôt en b dans chacun de ces n facteurs. Si on veut, par exemple, prendre k fois le nombre b (et donc n-k fois le nombre a), nous pouvons le faire de {n \choose k} façons. En effet, on rappelle que {n \choose k} est le nombre de façons de choisir k objets parmi n (ici ce sont les k facteurs parmi n que nous devons choisir). Il apparaît donc que lors du développement, les termes de la forme a^{n-k}b^k vont apparaître {n \choose k} fois. Il reste à faire la somme de tous ces termes pour k allant de 0 à n pour obtenir la formule du binôme.

On rappelle, au passage, que :

{n \choose k} = \frac{n!}{k! \ (n-k)!}

Et que ces coefficients binomiaux apparaissent dans le triangle de Pascal :

\begin{array}{c}1\\1 \quad 1\\1 \quad 2 \quad 1\\1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1\\1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1\end{array}

Grâce à ce triangle, on retrouve rapidement des identités telles que :

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4

Pour bien comprendre la suite, il faut savoir qu’on peut symétriser un peu la formule du binôme en écrivant que si n=j+k, alors le nombre de façons de partitionner le nombre n en deux collections de j et k entités est :

\frac{n!}{j! \ k!}

La formule du binôme s’écrit alors :

\displaystyle (a + b)^n=\sum_{j+k=n}\frac{n!}{j! \ k!}a^{j}b^k

N’est-ce pas plus sympathique ? La somme se calcule donc sur toutes les façons de décomposer le nombre n en somme de deux entiers j et k (à savoir n=0+n=1+(n-1)=2+(n-2)=...=1+(n-1)=0+n. Ceci est important pour bien comprendre la suite ! Le problème étant que l’on n’aura pas toujours que 2 termes dans la parenthèse… Nous allons donc généraliser la notion de coefficient binomial, le fameux {n \choose k}, à la notion de coefficient multinomial !

Par exemple, si vous avez 5 objets A, B, C, D et E et que vous souhaitez en mettre 2 dans un tiroir et 3 dans un autre tiroir, combien de répartitions aurez-vous ?

Premier tiroir Deuxième tiroir
A, B C, D et E
A, C B, D et E
A, D B, C et E
A, E B, C et D
B, C A, D et E
B, D A, C et E
B, E A, C et D
C, D A, B et E
C, E A, B et D
D, E A, B et C

Ce qui fait 10 répartitions et effectivement, on a bien :

\frac{5!}{2! \ 3!} = 10

Mais si maintenant, on souhaite partitionner les cinq objets en 3 sous-ensembles… L’un de deux objets, le second de deux objets et le troisième de un objet, on aura la formule :

\frac{5!}{2! \ 2! \ 1!} = 15 répartitions possibles

Nous venons de calculer un coefficient trinomial !

Si on généralise à n objets que l’on doit partitionner en p sous-ensembles de \alpha_1 objets, \alpha_2 objets, …, \alpha_p objets avec \alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_p=n, on aura :

\frac{n!}{\alpha_1! \ \alpha_2! ... \alpha_p!} répartitions possibles

C’est un coefficient multinomial et c’est exactement ce que nous devons faire si nous avons à développer un produit tel que :

\displaystyle \left(\sum_{i=1}^p a_i\right)^n

Dans chacun des n facteurs, on prend l’un des nombre a_i et, au final, en regroupant tous les termes, on obtient :

\displaystyle \left(\sum_{i=1}^p a_i\right)^n = \sum_{\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_p=n}\frac{n!}{\alpha_1! \ \alpha_2! ... \alpha_p!} a_1^{\alpha_1} a_2^{\alpha_2} ... a_p^{\alpha_p}

Ce qui est compliqué dans cette formule, c’est que la somme se fait sur toutes les façons de décomposer le nombre n en p termes.

Exemple :

\displaystyle (a + b + c)^4=\sum_{\alpha+\beta+\gamma=4}\frac{4!}{\alpha! \ \beta! \ \gamma!} a^{\alpha} b^{\beta} c^{\gamma}

Si on veut expliciter la somme, il faut chercher les différentes façons de décomposer 4 en somme de 3 termes :

\footnotesize \begin{array}{rcl}4&=&4+0+0=3+1+0=3+0+1=2+2+0=2+0+2\\&=&2+1+1=1+2+1=1+1+2=1+3+0=1+0+3\\&=&0+4+0=0+3+1=0+1+3=0+2+2=0+0+4\end{array}

Ce qui donne 15 termes :

\footnotesize \begin{array}{c} (a + b + c)^4=\\{\tiny a^4+4a^3b+4a^3c+6a^2b^2+6a^2c^2+12a^2bc+12ab^2c+12abc^2+4ab^3+4ac^3+b^4+4b^3c+4bc^3+6b^2c^2+c^4}\end{array}

 

 

 

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

CAPTCHA
Change the CAPTCHA codeSpeak the CAPTCHA code
 

Ce site utilise Akismet pour réduire les indésirables. En savoir plus sur comment les données de vos commentaires sont utilisées.