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La formule du multinôme

Tout le monde ici connaît les identités remarquables usuelles (de degré 2) telles que :

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(a + b)(a-b) = a^2 - b^2

Mais existe-t-il encore ce genre d’identités remarquables pour des degrés supérieurs ?
Et que se passe-t-il si on a plus de 2 termes dans la parenthèse ?
Par exemple, comment développer le produit suivant ?

(a + b + c)^4

Déjà, au lycée, on voit la formule du binôme de Newton :

\displaystyle (a + b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^k

Cette formule peut se démontrer par récurrence ou par « contemplation ». En effet, rien qu’en la contemplant attentivement, on peut comprendre sa logique. Pour cela, il faut imaginer que l’on souhaite développer le produit suivant :

(a + b)(a + b)(a + b) ... (a+b)

Dans ce produit, il y a n facteurs. En développant, on prendra tantôt un a et tantôt en b dans chacun de ces n facteurs. Si on veut, par exemple, prendre k fois le nombre b (et donc n-k fois le nombre a), nous pouvons le faire de {n \choose k} façons. En effet, on rappelle que {n \choose k} est le nombre de façons de choisir k objets parmi n (ici ce sont les k facteurs parmi n que nous devons choisir). Il apparaît donc que lors du développement, les termes de la forme a^{n-k}b^k vont apparaître {n \choose k} fois. Il reste à faire la somme de tous ces termes pour k allant de 0 à n pour obtenir la formule du binôme.

On rappelle, au passage, que :

{n \choose k} = \frac{n!}{k! \ (n-k)!}

Et que ces coefficients binomiaux apparaissent dans le triangle de Pascal :

\begin{array}{c}1\\1 \quad 1\\1 \quad 2 \quad 1\\1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1\\1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1\end{array}

Grâce à ce triangle, on retrouve rapidement des identités telles que :

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4

Pour bien comprendre la suite, il faut savoir qu’on peut symétriser un peu la formule du binôme en écrivant que si n=j+k, alors le nombre de façons de partitionner le nombre n en deux collections de j et k entités est :

\frac{n!}{j! \ k!}

La formule du binôme s’écrit alors :

\displaystyle (a + b)^n=\sum_{j+k=n}\frac{n!}{j! \ k!}a^{j}b^k

N’est-ce pas plus sympathique ? La somme se calcule donc sur toutes les façons de décomposer le nombre n en somme de deux entiers j et k (à savoir n=0+n=1+(n-1)=2+(n-2)=...=1+(n-1)=0+n. Ceci est important pour bien comprendre la suite ! Le problème étant que l’on n’aura pas toujours que 2 termes dans la parenthèse… Nous allons donc généraliser la notion de coefficient binomial, le fameux {n \choose k}, à la notion de coefficient multinomial !

Par exemple, si vous avez 5 objets A, B, C, D et E et que vous souhaitez en mettre 2 dans un tiroir et 3 dans un autre tiroir, combien de répartitions aurez-vous ?

Premier tiroir Deuxième tiroir
A, B C, D et E
A, C B, D et E
A, D B, C et E
A, E B, C et D
B, C A, D et E
B, D A, C et E
B, E A, C et D
C, D A, B et E
C, E A, B et D
D, E A, B et C

Ce qui fait 10 répartitions et effectivement, on a bien :

\frac{5!}{2! \ 3!} = 10

Mais si maintenant, on souhaite partitionner les cinq objets en 3 sous-ensembles… L’un de deux objets, le second de deux objets et le troisième de un objet, on aura la formule :

\frac{5!}{2! \ 2! \ 1!} = 15 répartitions possibles

Nous venons de calculer un coefficient trinomial !

Si on généralise à n objets que l’on doit partitionner en p sous-ensembles de \alpha_1 objets, \alpha_2 objets, …, \alpha_p objets avec \alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_p=n, on aura :

\frac{n!}{\alpha_1! \ \alpha_2! ... \alpha_p!} répartitions possibles

C’est un coefficient multinomial et c’est exactement ce que nous devons faire si nous avons à développer un produit tel que :

\displaystyle \left(\sum_{i=1}^p a_i\right)^n

Dans chacun des n facteurs, on prend l’un des nombre a_i et, au final, en regroupant tous les termes, on obtient :

\displaystyle \left(\sum_{i=1}^p a_i\right)^n = \sum_{\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_p=n}\frac{n!}{\alpha_1! \ \alpha_2! ... \alpha_p!} a_1^{\alpha_1} a_2^{\alpha_2} ... a_p^{\alpha_p}

Ce qui est compliqué dans cette formule, c’est que la somme se fait sur toutes les façons de décomposer le nombre n en p termes.

Exemple :

\displaystyle (a + b + c)^4=\sum_{\alpha+\beta+\gamma=4}\frac{4!}{\alpha! \ \beta! \ \gamma!} a^{\alpha} b^{\beta} c^{\gamma}

Si on veut expliciter la somme, il faut chercher les différentes façons de décomposer 4 en somme de 3 termes :

\footnotesize \begin{array}{rcl}4&=&4+0+0=3+1+0=3+0+1=2+2+0=2+0+2\\&=&2+1+1=1+2+1=1+1+2=1+3+0=1+0+3\\&=&0+4+0=0+3+1=0+1+3=0+2+2=0+0+4\end{array}

Ce qui donne 15 termes :

\footnotesize \begin{array}{c} (a + b + c)^4=\\{\tiny a^4+4a^3b+4a^3c+6a^2b^2+6a^2c^2+12a^2bc+12ab^2c+12abc^2+4ab^3+4ac^3+b^4+4b^3c+4bc^3+6b^2c^2+c^4}\end{array}

 

 

 

Gagner à coup sûr en bourse

Savez-vous qu’il existe une méthode théorique pour gagner à coup sûr en Bourse, sur le marché du Forex ? (Forex : conversion entre les devises)

Cette méthode est basée sur un principe mathématique :
le principe d’asymétrie

Nous vous avons résumé cette méthode sur un document simple, clair et précis de 4 pages téléchargeable en bas de cette page. Il vous appartiendra de la mettre en pratique ou non. (Nous n’incitons pas à trader, c’est plutôt l’aspect mathématique que nous souhaitons mettre en avant)

Cette méthode est intéressante car sans risque, mais commençons tout de même par les quelques mises en garde d’usage et brisons immédiatement les fantasmes les plus fous…

Ce que cette méthode n'est pas...
! Attention, ne croyez pas aux méthode miracles !!! Cette méthode ne va pas faire de vous un millionnaire !

  • Cette méthode n’est pas une martingale (type D’Alembert ou autre).
  • Cette méthode ne vous fera pas gagner des millions. Elle vous permettra juste de gagner de petites sommes mais avec une probabilité très forte.
  • Cette méthode n’est pas connue du grand public.
  • Cette méthode n’est pas une prise de risque inconsidéré. Vous ne risquerez jamais de perdre tout votre capital (comme dans une martingale par exemple ou du trading classique).
  • Cette méthode n’est pas interdite par la loi. Cependant, cette méthode peut s’apparenter à une forme de hedging (ouverture simultanée de deux positions opposées) et le hedging est rarement proposé par les brockers (et s’ils ne le proposent pas, c’est qu’il y a bien une raison…). C’est donc la seule contrainte de cette méthode : il vous faudra probablement ouvrir 2 comptes distincts
  • Cette méthode n’est pas complexe. Si vous avez les bases d’un élève de seconde en mathématiques, vous la comprendrez aisément. Il vous suffira d’appliquer les instructions à la lettre.
  • Cette méthode n’est pas universelle. Elle ne fonctionnera pas sur tous les types de cours en bourse. Cette méthode fonctionne surtout sur les cours à forte volatilité. Sur les cours à faible volatilité, elle vous rapportera moins et vos gains seront très vite grignotés par les spreads (frais d’ouverture de position).

Alors ? Quelle est donc cette méthode ?

Cette méthode est mathématique et SANS RISQUE. Elle vous permet d’investir les montants que vous souhaitez et vous permet de récupérer des gains relatifs avec une probabilité très forte.

Et surtout, le gros avantage est que si vous n’avez pas de gain un certain jour, vos n’aurez pas de pertes ! Si un jour, il ne se passe rien sur les cours, vous n’aurez ni gain, ni perte (autres que les spreads). Et si un jour, il y a de la volatilité sur le cours, vous avez un gain assuré à 100 %.

Un autre avantage de taille est que vous pourrez appliquer cette méthode n’importe quand. Pas besoin d’attendre le moment opportun, vous ouvrez vos positions à n’importe quel moment, lorsque vous êtes disponible et ça fonctionnera. En revanche, pour clôturer vos positions, il faudra juste faire attention. Il sera important de clôturer à un niveau différent de celui de votre ouverture. C’est tout. Et plus il y aura un écart entre le niveau du cours entre la fermeture et l’ouverture et plus vous gagnerez. S’il n’y a pas d’écart, vous ne gagnerez rien.

Si cette méthode est si prometteuse, alors pourquoi tout le monde ne l’applique pas ?

Cette méthode est méconnue du grand public. Elle est basée sur un principe mathématique d’asymétrie. C’est ce principe qu’il faut connaître et comprendre pour concevoir et appliquer la méthode. Elle n’est pas si prometteuse car elle ne permet pas d’obtenir des gains élevés mais seulement des gains faibles, mais fréquents.

Cette méthode est sûrement connue des grands traders érudits et initiés. Mais cette méthode ne les intéresse pas car elle ne rapporte que des gains assez faibles. Les traders spécialisés préfèrent utiliser l’analyse fondamentale et surtout la connaissance d’informations avant leurs concurrents pour dégager des profits importants. Ce n’est pas du tout ce que nous allons vous proposer ici. Comme on l’a dit plus haut, cette méthode ne fera pas de vous un millionnaire ; elle vous permettra juste d’améliorer votre quotidien.

Dernières petites précisions d’usage :
1°) nous ne sommes pas subventionnés par les brockers donc nous ne ferons aucune publicité ici. Si vous souhaitez ouvrir un compte, à vous de choisir la plateforme de votre choix ; évitez les plateformes interdites par l’AMF ! Il y a de nombreuses plateformes bidons sur le net. (Voir cette page de conseils)
2°) nous ne sommes par des marchands de rêve donc nous ne vous incitons pas à trader. Si vous le faites, c’est sous votre entière responsabilité et le site http://question-type-bac.fr/ et son administrateur ne pourront pas être tenus pour responsables en cas de pertes d’argent ou de déconvenues. Nous avons créé et publié cette méthode uniquement pour son intérêt mathématique.

Télécharger la méthode
(Introduction et mise en application)

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BONUS : nous vous proposons, de plus, de devenir revendeur de la méthode en achetant une licence de droits de revente !

Une fois que vous aurez acquis ces droits, vous serez totalement libre de :
– revendre la méthode sur votre site ou blog (au moins au même prix que nous) ;
– revendre le document en quantité illimitée ;
– citer ou non le site d’origine sur votre site ou blog.

De plus, ces droits vous seront acquis pour une une durée de 2 années et vous n’aurez aucune commission à reverser à nos auteurs. Ça vaut le coup d’essayer ! Le prix des droits de revente d’un document est égal à 3 fois seulement le prix du document.

Lors de votre commande des droits de revente, vous recevrez le pack avec :

  1. le  document pdf expliquant la méthode ;
  2. un tutoriel de mise en place de revente sur un site WordPress ; [?]
  3. votre licence de revente  (le n° de licence est le n° de votre commande).

Bref, un potentiel de revenus illimités presque sans aucun travail à faire !!!

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(Licence valable 2 ans – Prix de revente ≥ 10 €)

À l’issue de votre achat, vous pourrez télécharger les documents.

Exemple : vous achetez les droits de revente de la méthode. Les droits de reventes pour cette méthode sont facturés 30 €. Le prix de revente du document est fixé à 10 € minimum. Votre investissement est amorti dès la troisième vente. Et au delà, c’est 100 % de bonus pour vous !

Si vous êtes intéressés par les droits de reventes, devenez également revendeurs de nos questions type bac !

Vous pouvez également commander notre tutoriel de revente seul dans le cas où vous souhaitez vendre d’autres documents que ceux de notre site. Celui-ci vous explique quelle extension installer sur un site WordPress ainsi que toute la procédure de paramétrage de A à Z.

Tutoriel de revente seul (9 pages)

BAC 2021 – Réforme

Dès la session 2021, le baccalauréat sera réformé. Il n’y aura plus la classique semaine d’épreuves du mois de juin avec toutes les matières habituelles (philosophie, Histoire & Géographie, Langues Vivantes, SVT, Physique Chimie, Mathématiques, etc.).

Une grande partie du baccalauréat se déroulera désormais sous forme de « contrôle continu ». Les élèves seront donc en évaluation permanente (donc davantage de stress). En plus d’un tronc commun, ils choisiront 3 spécialités en première et en garderont 2 pour la terminale. Il y aura évidemment une spécialité maths. Ces spécialités seront évaluées lors d’épreuves finales (contrairement au tronc commun évalué en contrôle continu, sauf philo). Donc, en ce qui concerne les mathématiques, cela ne changera pas grand chose à l’organisation.

La réforme s’accompagnera d’une évolution des programmes et nos questions-types suivront évidemment cette évolution. Vous serez donc toujours parfaitement accompagnés pour réussir votre scolarité et donc votre orientation.

Pour plus de détails sur cette réforme et notamment l’évolution de l’enseignement des mathématiques (programmes, organisation, etc.), consulter le site suivant http://specialite-maths.fr :

BAC 2021

Cours particuliers de mathématiques pas chers

Vous recherchez des cours particuliers en mathématiques ?
Et cela au meilleur prix ?

Bien sûr, il est facile de trouver un « prof de maths » pour des cours particuliers sur des sites d’annonces ou des sites spécialisés. Mais on ne sait jamais à qui on a affaire et les prix tournent aux alentours de 30 € de l’heure.

Par expérience, il faut essayer parfois 2 ou 3 profs différents avant de tomber sur un prof avec lequel il y a un bon feeling.

Par ailleurs, pour progresser en maths, un travail régulier est recommandé. Admettons que vous prenez une heure par semaine de cours de maths à 30 € / h. Une année scolaire est constituée d’une trentaine de semaines ouvrables. Cela fait un budget à prévoir de :

30 x 30  = 900 € pour l’année

C’est énorme ! Et encore, certains élèves prennent souvent des cours particuliers durant les petites vacances pour ne pas perdre la main. Au final, le budget annuel avoisine un millier d’euros.

Toutes les familles ne peuvent pas se le permettre. Et même pour les familles qui peuvent se le permettre, il n’est pas dit que les cours particuliers soient la méthode la plus efficace pour travailler. Voir notre article : faut-il prendre des cours particuliers ?

En fait, les progrès en maths passent nécessairement par un pas en avant dans l’autonomie.  Si l’élève est perpétuellement assisté par un prof qui a tendance à trop le seconder, il ne progressera pas. Cela ne signifie pas qu’il ne faut jamais être aidé bien sûr, il faut une impulsion initiale qui libère les appréhensions et après on peut être autonome. Mais l’élève ne peut pas inventer ses propres exercices ! C’est pourquoi nous avons créé les questions-type-bac qui permettent à l’élève de progresser à son rythme (les exercices sont classés par difficulté) et thème par thème. Téléchargez nos documents ou nos chapitres ; vous serez surpris de voir les progrès réalisés.

Et le coût ? Il faut compter environ 20 € pour avoir un document qui recense l’ensemble des questions types de terminale (pour le BAC S ou pour le BAC ES). Un seul paiement unique de 20 € pour toute l’année… Alors que des cours particuliers hebdomadaires reviennent à 900 €.  Cela revient donc 45 fois moins cher de travailler avec nos questions-types !

Pour info, tous les élèves qui ont travaillé nos questions-types ont eu leur bac ! Et pour beaucoup, avec mention ! Alors, n’attendez pas la dernière minute et planifiez votre travail ou vos révisions le plus amont possible, vous ne le regretterez pas. La seule chose qu’on regrette avec une méthode qui marche, c’est pourquoi n’ai-je pas adopté cette méthode avant !

Et après le bac ? Des livres pour les études supérieures

Maintenant que vous avez votre bac en poche, nous vous proposons une sélection de quelques livres pour réussir vos études supérieures en mathématiques.

Les « tout en un » : mauvaise bonne idée ?

On pourrait être facilement attiré par cette formule. Mais l’inconvénient est que ces « tout en un » contiennent de nombreuses erreurs et coquilles. En effet, les délais imposés par les éditeurs aux auteurs sont en général intenables et produire un livre de quelques 1500 pages en seulement quelques mois est mission impossible. Nous déconseillons donc l’achat de « tout en un ».  Si cela vous tente malgré tout, nous vous conseillons les ouvrages suivants :

* Le « tout en un » de Daniel Guinin : bon ouvrage globalement mais un peu cher.

* Pour ceux dont le budget est limité, il y a le « tout en un » de Nicolas NGuyen qui commence à être disponible d’occasion ; malheureusement, il fait l’impasse sur de nombreuses démonstrations, ce qui est tout de même problématique pour un livre de maths de MPSI !

* Le « tout en un » de Xavier Oudot : très bon ouvrage mais encore anciens programmes (manque les probabilités)

Bref, le « tout en un » parfait n’existe pas encore !

 Les ouvrages spécialisés : un gage de qualité

Les ouvrages spécialisé (analyse, algèbre, probabilités) sont en général de meilleure qualité dans leur domaine et permettent un meilleur approfondissement.

* Livre d’Analyse de Frédéric Denizet : pratique pour bachoter. Mais ne contient que des résumés de cours et pas de démonstrations.

* Livre d’Analyse de Gilles Costantini : probablement ce qui se fait de mieux en analyse pour la première année. Toutes les démonstrations sont faites en détail. Nombreux QCM et exercices.

* Livre d’Algèbre de Nicolas Babois et Pierre Abbruggiati : pour compléter l’ouvrage précédent :

* Et enfin, pour les probabilités, nous conseillons le livre de Paul Pichereau :

* ainsi que le livre de Dany-Jack Mercier :

 

 

 

Impressions sur le film « la révélation des pyramides »

Interview de Jean-Claude Barbolosi, professeur agrégé de mathématiques réalisé par Nicole Serra dans le cadre du dispositif EN de « la semaine des sciences pour tous ».

– NS : Bonjour, Monsieur Jean-Claude Barbolosi. Beaucoup d’élèves lycéens ont vu, chez eux ou entre amis, le documentaire « la révélation de Pyramide »,  réalisé par Patrice Pooyard à partir de thèses de Jacques Grimault. Ce documentaire est presque devenu un film « culte » chez les adolescents, qui se posent beaucoup de questions à ce sujet. Nous vous l’avons donc recommandé pour avoir votre avis en tant que professeur de mathématiques, qu’en avez-vous pensé ?

 – JCB : il y a indéniablement des choses intéressantes dans ce documentaire. Vouloir tout réfuter d’un bloc et tout balayer d’un revers de main (comme le font certains) serait une démarche intellectuelle absurde et ne montrerait qu’un signe – conscient ou inconscient – d’éviter des questions qui dérangent ou d’avoir à remettre en question sa condition d’être humain sur cette planète. Ceci étant dit, je dirais qu’a priori, j’ai relevé trois types d’informations dans ce documentaire : les convaincantes et flagrantes (comme par exemple la durée difficilement envisageable de construction de la grande pyramide en 20 ans), celles qui méritent davantage d’approfondissement et de réflexion (comme par exemple les connaissances réelles et les moyens outillés de ces bâtisseurs) et celles qui me paraissent, en tant que mathématicien, discutables voire non pertinentes. Bien sûr, je vais m’expliquer en détails sur ces points. Mais je tiens à préciser que si j’émets telle ou telle critique sur tel ou tel point, je ne remet pas en cause tout le travail de Monsieur Jacques Grimault, comme pourraient le faire d’autres scientifiques. Je pense qu’il appartient à chacun d’étudier attentivement ce que les uns et les autres ont à dire sur le sujet, de faire le tri (ou son tri) puis, en synthèse, de terminer par une démarche peut-être plus personnelle pour ce qui est de savoir quelle est la fonction de ces édifices, pourquoi ils sont là et quels enseignements nous pouvons en tirer.

– Vous êtes donc partagé. Quels sont les points pour lesquels vous êtes sceptiques ?

– Difficile de dire cela de but en blanc. Mais si j’ai bien compris, une des idées maîtresses qu’essaye de faire passer Monsieur Jacques Grimault est que la grande pyramide de Gizeh contient un message laissé par une ancienne civilisation, message qu’il nous faudrait décrypter afin de nous prémunir face à des événements imprévus (ou prévus) de nature cataclysmique qui pourraient affecter largement notre civilisation actuelle voire l’anéantir, particulièrement en lien avec le phénomène cyclique de précession des équinoxes qui pourrait amener toutes sortes de désordres. J’adhère assez bien au concept des anciennes civilisations. Le questionnement soulevé par la construction de tant d’édifices massifs et similaires à travers le monde tend d’ailleurs assez bien à consolider cette thèse. En revanche, sur la question du message, j’aurais bien quelques objections :
* l’idée même de vouloir faire passer un message à une civilisation ultérieure est difficile à concevoir. Ce n’est pas notre civilisation qui aurait ce genre de préoccupations. Nous sommes bien trop égoïstes et attachés à notre présent. Même si nous nous savions condamnés par une fin imminente, il y aurait toutes sortes de troubles entre nous : constructions d’abris ou d’arches, émeutes locales pour y accéder. Bref, on aurait tant à faire qu’il ne nous viendrait pas à l’esprit l’idée de laisser un avertissement à une civilisation ultérieure. Si c’est bien cela qui s’est passé avec cette civilisation ancienne, il est clair qu’elle avait des concepts sociaux et philosophiques à l’opposé des nôtres (ou tout du moins, arrivait à appliquer ces beaux concepts altruistes que nous revendiquons souvent mais que nous sommes incapables d’appliquer à nous-mêmes).
* mais admettons un moment qu’il s’agisse effectivement d’un message qu’il nous faut décoder à travers le langage mathématique. Cela me pose alors un autre problème. Car ce message, tel qu’il nous est révélé dans ce documentaire, me paraît finalement assez pauvre. Message pauvre déjà dans les notions mathématiques utilisées. Il n’y a quasiment que des additions et des multiplications. Toutes les formules avancées par Jacques Grimault sur le nombre pi ou le nombre d’or ne sont que des additions, multiplications, fractions, racines carrées. C’est juste ça les mathématiques ? Pourquoi ne voit-on pas des exponentielles, des logarithmes, des nombres premiers et d’autres constantes mathématiques aussi universelles que pi et phi ? Cela me gêne un peu. Mais peut-être ne nous les avons pas encore trouvées… Mais même sans chercher longtemps, je sais que je pourrais très facilement trouver par exemple le nombre e. En effet, la hauteur d’un triangle équilatéral est égale à racine(3)/2 fois le côté. Il y a des triangles équilatéraux un peu partout j’imagine dans les structures du plateau de Gizeh. Ne serait-ce que par la position de Gizeh sur le globe terrestre, avec une latitude de 30° N, on construit facilement un triangle équilatéral. Or, ô miracle, il se trouve que :

  racine(3) / 2  ≈   e / pi  (à 8 millièmes près)

Donc le nombre e serait est présent dans la grande pyramide ? Les bâtisseurs l’ont caché là pour que nous le découvrions ? Non, vraiment, je ne le pense pas. Et je suis étonné que Monsieur Jacques Grimault n’ait pas fait le lien entre 2/racine(3) (lié à la coudée sacrée des égyptiens) et le rapport pi / e. Ne connait-il pas le nombre e ? Et puis, je peux vous sortir plein d’autres coïncidences mystérieuses avec juste les nombres pi et phi comme par exemple, il se trouve que :

cos(2/3) ≈ pi/4  et  sin(2/3) ≈ 1/phi
(Ce sont des approximations remarquables mais très méconnues)

Or, l’angle présent dans ces égalités est 2/3, exprimé en radians. Mais si on le convertit en degré, cela fait un angle de 38°… angle que les spécialistes identifieront sans problème puisqu’il s’agit de la moitié de l’angle au sommet de la grande pyramide (76° donné par 2 arctan(11/14)). Est-ce à dire que les bâtisseurs connaissaient le système sexagésimal des babyloniens (dont est issu le degré) et nous ont caché cette information afin que nous la découvrions ? J’ai bien du mal à y croire. Mais je manque peut-être de recul ? Je  pourrais continuer les exemples à foison. Prenons la coudée, pi / 6, puis calculons sa tangente (après tout, pi/6 est un angle), on obtient :

tan(pi / 6) ≈ 0,5773

Tiens ? Voilà la constante d’Euler, à un millième près ! (Mais qui la connait ?)
Multiplions par 2 :

2 tan(pi / 6) ≈ 1,1547

Dingue, on récupère le centième de la coudée sacrée (115,47 m)… Mais là, c’est une entourloupe, les bons en maths trouveront pourquoi !
Bref, je ne sais pas pourquoi, mais les coïncidences que je trouve moi-même sur un coin de feuille ne m’impressionnent pas plus que ça. Ce ne me « parle » pas, c’est un message que je trouve assez pauvre mathématiquement parlant, à mon sens. D’ailleurs, la probabilité de trouver des coïncidences numériques, même à partir d’une petite famille de nombre, est bien plus élevée que ce que croit le commun des mortels. (MAJ DLR : à ce sujet, voir ce document : probabilité de coïncidence numérique.)

Ensuite, message pauvre dans sa localisation géographique : pourquoi n’y a-t-il que la grande pyramide qui parle ? Que dit sa voisine la pyramide médiane (dite de Khephren), que dit la pyramide de Mykérinos ? Nettement moins de choses… Que disent les autres sites le long de cet équateur penché ? Mathématiquement parlant, ils ne disent pas grand chose. Tout le message est donc condensé dans LA grande pyramide ? Mais alors, à quoi sert le reste ? A quoi sert Khephren ? Pour moi, tous ces édifices ont une autre raison d’être que d’être juste porteurs d’un message qui nous serait destiné. Certes, je vois bien que la pyramide de Khephren est au format 4/3 donc elle intègre une autre logique de conception basée sur le double triangle sacré (3, 4, 5). C’est probablement un autre architecte qui l’a conçue. Certains vont avancer que c’est surprenant de voir que cette Pyramide médiane intègre le théorème de Pythagore alors que Pythagore est apparu plusieurs siècles après la construction de cette pyramide. Cependant, le triplet (3, 4, 5) devait bien avoir été remarqué pas des savants ici ou là, la corde des arpenteurs (corde à 13 nœuds) est connue depuis la nuit des temps. Donc de la à dire que le site contient un message secret caché, là aussi, j’ai encore du mal à adhérer à cette idée. Mais je n’ai qu’une vision superficielle de ces questions à ce jour.

 – vous dites que les mathématiques de la grande pyramide sont pauvres. Mais n’êtes-vous pas étonnés du nombre de coïncidences qu’on y trouve ? Cela fait une grande richesse au contraire. Vous qui êtes mathématicien, pensez-vous que l’on peut attribuer autant de coïncidences au hasard ?

– effectivement, en première approche, on peut être surpris du grande nombre de coïncidences que réalise la grande pyramide. Mais je pense qu’il faut un peu relativiser les choses. Ce n’est pas tant qu’il y a beaucoup de coïncidences mais plutôt que deux trois coïncidences mathématiques engendrent, à elles seules, de nombreuses autres coïncidences. Il me semble que quasiment toutes les belles propriétés que l’on peut constater découlent des approximations suivantes :


14 / 11  ≈  4 / pi  ≈  racine(phi)
5 pi / 6 ≈  phi² 


et de la convention (discutable mais qui arrange bien les choses…) :


coudée := pi / 6 mètres

Quand on a dit ça, il me semble qu’on a quasiment tout dit.
Est-ce aussi extraordinaire que cela du coup ?
Par exemple, le fait que le rapport « apothème d’une face sur demi-base d’une face » donne le nombre d’or est une simple conséquence de l’approximation 4 / pi  ≈ racine(phi). (je peux le démontrer.).
Le fait que l’aire des 4 faces divisée par l’aire de la base donne encore phi est aussi une conséquence de ce qui précède.
Le fait que la grande pyramide est une réalisation basée sur la rectification du cercle également (et c’est peut-être là plutôt le point de départ conceptuel de l’architecte).
Le fait que voir apparaître le nombre d’or (plus exactement des multiples de phi²) dans les dimensions de la chambre haute (dite chambre du roi) n’est pas étonnant puisque la largeur de cette chambre est de 10 coudées donc de 10 * pi / 6. Or, 10 * pi / 6 est proche de 2 phi²… C’est une conséquence de l’approximation donnée plus haut, à savoir 5 pi / 6  ≈ phi².
Le fait que la différence entre 2 côtés et la hauteur (2c – h), exprimée en mètres, donne 100 pi découle du fait que, en coudées, 2c – h donne 880 – 280 = 600 coudées. Or d’après la convention coudée = pi / 6 mètres, ça donne 100 pi. Ce n’est, là encore, pas une nouvelle coïncidence mais découle toujours de la même convention.
Plus généralement, le fait qu’on retrouve diverses coïncidences en exprimant des grandeurs en mètre découle, toujours, de la convention coudée = pi / 6 puisque cette convention a pour conséquence qu’un cercle de périmètre 6 coudées aura pour diamètre 1 mètre, mais changez la valeur de la coudée d’un centième et toutes ces observations métriques tombent à l’eau ! Il vaut mieux raisonner juste avec des rapports de grandeurs.
Bref, on tourne vite en rond. Il me semble qu’il n’y a pas lieu de tant s’émerveiller face à la multiplication de toutes ces propriétés qui découlent d’un même noyau de coïncidences constitué de 2 ou 3 approximations, certes belles et remarquables. Mais peut-être que, derrière cette frénésie qu’ont certains à chercher des coïncidences mathématiques se cache un malaise par rapport à notre existence sociale ? Notre société est devenue tellement pitoyable qu’on peut comprendre que l’on cherche à tout prix à donner un sens nouveau à notre vie.

 vous prétendez donc que Jacques Grimault est un charlatan ?

– non, pas du tout. Loin de moi cette idée. Au contraire, nombre de ses idées sont intéressantes et sa culture générale est assez impressionnante (bon, son ego aussi peut-être… mais chacun sa personnalité). Il est clair que cet homme ne raisonne pas comme le fait la communauté scientifique mais ce n’est pas pour cela que cela discrédite l’ensemble de son propos. Certes, on peut faire une liste assez longue de termes maladroits que tout professeur de mathématique relèvera dans son discours :
* il dit que pi et phi sont des nombres « infinis ». C’est un abus de langage. D’un point de vue mathématique, il s’agit de nombres finis. C’est leur développement décimal qui est infini.
* il dit que pi et phi sont des nombres irrationnels et transcendants. Seul pi l’est. Phi est un irrationnel mais non transcendant.
* il écrit hypothénuse ou lieu de hypoténuse (rires)
* il mélange un peu tous les triangles (son fameux triangle de demi-base 1, de hauteur racine(phi) et de côté phi, qui correspond au format obtenu en sectionnant la grande pyramide par les apothèmes n’est pas un triangle d’or, celui-là même qui apparaît dans le pentagone). Dans sa conférence d’octobre 2013, il est plus précis et les distingue mais il associe la molécule d’eau avec un triangle d’or. Un triangle d’or « large » a bien en son sommet un angle de 108° mais l’angle de la molécule d’eau n’est que de 104,5° et si on veut associer un triangle à la molécule d’eau, il vaudrait mieux se tourner vers un triangle sacré dont l’angle est de 106°. Ce passage non pertinent m’a déçu de sa part. (MAJ DLR : à ce sujet, afin d’y voir plus clair sur les triangles, voir ce document : triangles mystiques.)
etc.
Ces petits détails révèlent le manque de formation académique de l’homme, certes, mais à mes yeux, ce n’est absolument pas grave. Au contraire même. On peut bien donner des sens divers aux mots et, par ailleurs, son vocabulaire mathématiquement incorrect est peut-être choisi dans un but pédagogique. Ce sont les idées qui comptent avant tout. Bien des scientifiques pourraient saisir la brèche de son manque de rigueur dans le vocabulaire pour le discréditer complètement, mais ce n’est pas mon cas. On peut tisser un parallèle avec l’écriture. Imaginez un homme ayant lu des milliers de livres. S’il se met à écrire un jour, il le fera sous l’influence des auteurs de tous ces livres lus et il écrira donc de façon « conforme », au moins sur la forme. A contrario, imaginez un homme n’ayant lu aucun livre ; celui-là, s’il se met à écrire, sera, sur la forme comme sur le fond, très atypique. Pour autant, ce qu’il aura à raconter n’en sera pas forcément moins intéressant que le précédent. Certes, Monsieur Jacques Grimault n’a pas une formation universitaire en mathématiques, mais ça ne le rend pas inintéressant. Au contraire, je pense que nous avons tous beaucoup à apprendre des uns et des autres et les diplômes et le cv n’attestent en rien des capacités d’analyse de découverte et d’émerveillement. Ainsi, lorsque Monsieur Jacques Grimault se qualifie de mathématicien, je ne peux pas lui renier cette compétence ; c’est effectivement un mathématicien, même s’il se contente juste des opérations de base des mathématiques ! (Après tout, ce sont les fondements)

 – à propos du triangle d’or, certain ont remarqué que les 3 volcans de l’île de Pâques forment un triangle d’or. Qu’en pensez-vous ?

 – on peut construire des tonnes de triangles avec l’île de Pâques. Triangle inscrit intérieurement, triangle inscrit extérieurement, triangle dont les côtés interpolent les cotes de l’île, etc. Parmi tous ces triangles, il y en aura bien un de remarquable. Donnez-moi un triangle, quel qu’il soit et je lui trouve un lien avec l’île de Pâques. Et si ça ne tombe pas parfaitement juste, on pourra toujours invoquer la dérive des continents ou la tectonique des plaques qui a légèrement modifié la configuration du site depuis quelques siècles… Ceci étant dit, cette île est, elle aussi, porteuse de mystères et demeure émotionnellement vertigineuse. Mais face à l’absence d’explications, il me paraît prématuré et aventureux que d’avancer des théories basées juste sur diverses mesures qui vont bien. Qu’il y ait des liens dans les techniques et les constructions entre ce site et d’autres, je suis d’accord et ça renforce la thèse d’une civilisation ancienne avancée. Mais j’ai du mal à entrevoir plus que cela pour le moment. Je reste ouvert à ce que j’entends ici ou là, tout en gardant mon esprit critique.

 – alors finalement, pour vous, que nous signifient les pyramides ?

 – je n’en sais rien. Je ne peux pas m’avancer ainsi sur le sujet, je suis nullement spécialiste. Monsieur Jacques Grimault analyse ce sujet depuis sûrement près de 40 ans. Moi, ça fait 4 jours que j’ai vu le documentaire. Vous comprendrez que je ne peux pas me faire d’idées pour le moment, je ne fais pas le poids. Mais en même temps, ce regard – neuf et neutre – que j’ai sur le sujet et donc dénué de toute influence extérieure, peut être intéressant. J’analyse de façon brute les aspects mathématiques. Je trouve qu’il y a des choses effectivement troublantes mais vouloir faire une liste archi-longue de propriétés redondantes ne me paraît pas pertinent pour le moment (et risque de discréditer la thèse et au final l’homme). Il y a sûrement d’autres aspects à étudier (et Monsieur Grimault le fait). En revanche, je rejoins assez vos positions concernant ce que nous disent les égyptologues officiels (ou du moins certains), il y a là de quoi être indigné tant cela semble relever de l’escroquerie intellectuelle. Il est effectivement fortement envisageable que les bâtisseurs étaient dotés de connaissances et de moyens qui nous échappent. Ce point reste à creuser. Pour moi, les pyramides sont des objets fascinants ; mais je ne les vois pas (ou pas encore) comme un langage ou un message. On peut imaginer d’autres fonctions. L’homme a souvent construit des choses étonnantes et parfaites dans le but d’apaiser la colère des dieux ou des éléments naturels. Il y a peut-être un peu de cela dans ces constructions. C’était peut-être aussi un moyen de capter une partie de l’énergie de ces éléments naturels. Il y a des pyramides partout sur la Terre. Pourquoi se fatiguer à les construire ? Il y a bien une raison. Les monuments hauts ont une particularité : ils attirent la foudre (le pyramidion sommital, aujourd’hui disparu, était peut-être en or, qui sait ? Ca expliquerait que des pilleurs l’aient subtilisé). Partant de là, on peut imaginer que l’eau qui s’écoule sur les parois, chargée des ions de la foudre, rendait peut-être les récoltes aux alentours plus prolifiques (cette idée là me va bien pour les pyramides chinoises en pleine plaine, moins à Gizeh mais qui sait, il y avait sûrement des cultures aux alentours de ces pyramides et à proximité du Nil). Enfin, les chambres internes ne sont pas, selon moi qui suit un néophyte, des tombeaux (l’eau qui s’engouffre dans les conduits de ventilation non coudés ne favoriserait pas la conservation des momies). Mais peut-être des salles de soin où l’on récoltait, là encore, l’eau chargée en ions, lors d’orages, pour soulager, via des bains, certaines personnalités de l’époque de leurs maux les plus coriaces ? N’y a-t-il pas autour de la pyramide de Saqqarah de nombreuses salles (mastabas) qui auraient pu accueillir des lits pour plusieurs personnes ? Ne serait-ce pas là un hospice « grand public » et les pyramides de Gizeh l’hospice de l’élite ? Je ne dis pas que c’est ça, je n’y connais rien, mais c’est simplement pour vous montrer qu’on peut échafauder des théories bien différentes.
En conclusion, je pense que Monsieur Jacques Grimault n’a pas raison sur toute la ligne (il est tellement impliqué et convaincu de ce qu’il raconte qu’il a du mal à s’ouvrir à d’autres hypothèses) ; mais il n’a non plus pas tort sur toute la ligne et je pense que des scientifiques de renom pourraient plutôt essayer de collaborer avec lui plutôt que de le stigmatiser. Mais lorsqu’il s’agit de quête de vérité, les hommes sont-ils vraiment prêts à collaborer ?…