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BAC 2021 : la réforme impossible !

Tous les lycées de France ont ouvert ce nouveau chantier : celui de mettre en place la réforme du BAC 2021 au sein de leur établissement.

C’est un gros chantier puisque cette réforme s’accompagne d’une suppression des filières (S, ES, L) dans l’enseignement général au profit d’une scolarité basée sur des spécialités organisées autour d’un tronc commun.

Sur le papier, cette nouvelle organisation est très séduisante : dès la classe de première, les élèves choisiront trois spécialités (en guise de découverte) et en poursuivront deux (en guise d’approfondissement) en terminale. Chacune des trois spécialités de première représentera un volume de 4h hebdomadaire et chacune des deux spécialités de terminale représentera un volume de 6h hebdomadaire (donc toujours 12 h au global).

Il y aura cependant un tronc commun de disciplines afin d’assurer un socle de connaissances :

Disciplines du tronc commun (à partir de la première)
  • Français / Philosophie
  • Histoire Géographie
  • Enseignement Moral et Civique
  • Langue Vivante A et Langue Vivante B
  • Éducation Physique et Sportive
  • Enseignement Scientifique

On notera en particulier la disparition des mathématiques dans le tronc commun de ce cycle terminal (première & terminale). Mais les mathématiques restent encore obligatoires en seconde générale et technologique.

Liste de spécialités (de première et de terminale)
  • Arts
  • Biologie & Écologie
  • Histoire, Géographie, Géopolitique et Sciences Politiques
  • Humanités, Littérature et Philosophie
  • Langues, Littératures et Cultures étrangères
  • Littérature, Langues et Cultures de l’Antiquité
  • Mathématiques
  • Numérique et Sciences Informatiques
  • Physique Chimie
  • Sciences de la Vie et de la Terre
  • Sciences de l’Ingénieur
  • Sciences Économiques et Sociales

Jusque là, tout semble merveilleux : c’est l’élève qui construit ainsi son parcours en fonction de ses goûts et de son projet d’orientation post-bac.

Sauf que…

Sauf que, pour des raisons budgétaires, les établissements ne pourront pas proposer toutes les spécialités. Certes, ce n’est pas encore très grave ; si un lycée ne propose pas une certaine spécialité, le lycée voisin la proposera sûrement.

Mais là où ça va se compliquer, c’est que les lycées ne pourront pas proposer tous les trinômes de spécialité en première et tous les binômes de spécialité en terminale… Oui, ce serait beaucoup trop complexe à planifier. Ne serait-ce qu’au niveau des emplois du temps, il faudrait prévoir 3 plages de 4h en barrettes en première et 2 plages de 6h en barrettes en terminale telles que quasiment toutes les spécialités apparaissent sur ces plages. N’importe quel chef d’établissement vous dira que c’est ingérable ! D’autant qu’avec cette organisation, si on laisse les élèves choisir, il y aura des spécialités qui auront plus de succès que d’autres ; il faudra donc plusieurs groupes pour ces spécialités demandées tandis que d’autres spécialités, plus boudées, se retrouveront avec peu d’élèves… Chose inacceptable -en ces temps de rigueur budgétaire- pour les rectorats qui demandent des effectifs optimisés !

En conséquence, ce qui va se passer, c’est que les établissements vont proposer un panel restreint de trinômes de spécialités en première et de binômes de spécialités en terminale… On voit donc déjà que les élèves n’auront pas tant de choix que cela. Par exemple, il sera sûrement impossible pour un élève de choisir Littérature – Maths – SES car ces trois spécialités ont peu de rapport et aucun établissement proposera ce trinôme dans son panel…

Du coup, la réforme est déjà nettement moins séduisante…

Mais ce n’est pas fini…
Il y a aussi un autre problème, sûrement plus préoccupant encore…

C’est que, dans cette réforme, il est prévu que les élèves doivent abandonner une des trois spécialités en fin de première pour n’en conserver que deux en terminale… Bon, très bien, ça permet de faire un tri ou un choix et laisser de côté la spécialité qui leur plait le moins… Sauf que, concrètement, ils ne pourront pas vraiment choisir la spécialité qu’ils abandonnent ! En effet, le panel de binômes de spécialités proposées en terminale étant restreint, les élèves seront également très restreints dans leurs choix.

Pour mieux comprendre, faisons une simulation…

Imaginons un établissement qui possède 6 classes de premières. Il va donc proposer 6 trinômes possibles en première. Par exemple :

1re A : Maths – Physique/Chimie – SVT
1re B : Maths – SES – Histoire/Géo
1re C : Maths – Informatique – Physique/Chimie
1re D : Philo – Langues Anciennes – Littérature
1re E : Philo – Arts – Histoire/Géo
1re F : Arts- Histoire/Géo – Littérature

Puis, dans la foulée, 6 classes de terminale avec des binômes de spécialité :

Tle A : Maths – Physique/Chimie
Tle B : Maths – SES
Tle C : Maths – Informatique
Tle D : Philo – Littérature
Tle E : Philo – Arts
Tle F : Arts – Littérature

Si on examine bien cette configuration, on constate que les élèves de 1re A seront obligés d’abandonner la SVT, les élèves de 1re B obligés d’abandonner l’histoire/géo etc.
La raison est simple : à partir de 6 spécialités proposées, le nombre de trinômes est bien plus élevé que le nombre de binômes (car {n \choose 3} > {n \choose 2} dès que n \geq 6). Or, il n’y aura pas plus de classes de terminales que de premières. Donc le passage en terminale se concrétisera nécessairement par des choix contraints !

Bref, cette réforme sera impossible à mettre en œuvre sur le terrain !
Nous souhaitons bon courage aux établissements publics qui risquent d’être désertés…

Comment bien mener et rédiger une récurrence en mathématiques ?

Partie I – Qu’est-ce qu’une récurrence ?

Le raisonnement par récurrence est une des grandes nouveautés pour les élèves qui arrivent en terminale S. Pour eux, cette notion est plutôt difficile à assimiler. Certes, le principe est simple à comprendre mais l’organisation des calculs peut énormément varier selon les contextes. Les élèves y perdent alors leurs repères. C’est surtout l’étape de « l’hérédité » qui est compliquée à gérer car cela revient à prouver une infinité d’implications, chose qui est assez inhabituelle pour un élève en terminale S.

Commençons par rappeler/préciser de quoi il s’agit. Le principe de raisonnement par récurrence repose sur une idée toute simple, à la portée d’un enfant de maternelle.  Imaginons que l’on dispose d’une série de dominos que l’on place debout :

Supposons que l’on ait les deux conditions suivantes qui soient satisfaites :

1°) les dominos sont suffisamment rapprochés de sorte que chaque domino qui tombe entraîne la chute du suivant (hérédité) ;

2°) on fait tomber le premier domino (ou le p-ième domino) (initialisation).

ALORS…

Alors, TOUS les dominos vont tomber (ou tous à partir du p-ième)

évident, n’est-ce pas ?

C’est ce principe simple et naturel que nous allons appliquer à des propriétés mathématiques afin de montrer qu’elles sont « toujours » vraies. Plus exactement, si on souhaite démontrer qu’une propriété mathématique dépendant d’un entier naturel n est vraie pour tout n, alors ce raisonnement par récurrence peut et doit être envisagé (si on n’a pas trouvé d’autre méthode de raisonnement direct).

Mais comment transposer ce principe simple à des propriétés mathématiques ?

C’est ce que nous allons voir et expliquer sur quelques exemples !
Mais pas si vite… D’abord, qu’est-ce qu’une propriété mathématique dépendant d’un entier naturel n ?

Lorsqu’on dit que les trois médianes d’un triangle sont concourantes, on exprime une propriété mathématique (qui, en l’occurrence, est vraie). Lorsqu’on dit que le carré d’un nombre est toujours positif, on exprime là encore une propriété mathématique (qui est vraie si le nombre en question est réel mais fausse si le nombre en question est complexe…). Ces propriétés mathématiques tiennent en une seule entité.
Mais si on affirme maintenant quelque chose du genre :

6^n-1 est un multiple de 5, quel que soit l’entier n

on décrit cette fois une propriété mathématique qui dépend d’un entier n. C’est totalement différent des propriétés mathématiques précédentes qui étaient non indexées. C’est pour des propriétés mathématiques de ce genre, qui sont indexées par un entier n, que le raisonnement par récurrence va pouvoir s’envisager.

D’ailleurs, qu’en pensez-vous de 6^n-1 ? Toujours un multiple de 5 ou non ?…
Voyons voir :

Valeur de n Valeur de 6^n-1 Résultat
0 0 multiple de 5
1 5 multiple de 5
2 35 multiple de 5
3 215 multiple de 5
4 1295 multiple de 5

C’est vite vu, il semble que 6^n-1 soit un multiple de 5 pour tout n. On a bien dit « il semble que… » ! En effet, rien ne nous assure, à ce stade, que ce processus va se poursuivre… Il y a peut-être un piège ? Ou non…

Comment faire ? Peut-on faire une infinité de vérifications manuelles ? Non, impossible…
Il va falloir donc raisonner autrement, plus généralement… Et c’est dans ce type de situation que le raisonnement par récurrence peut nous venir en secours ! Une vérification sur les premiers termes ou les premières étapes n’est pas suffisante pour affirmer qu’elle se généralise à tous les termes ou toutes les étapes ! Il existe de nombreuses situations mathématiques qui vont bien au début et puis qui tournent mal à partir d’un certain moment. On appelle cela des « fausses conjectures ».  Vous voulez en voir ? Pas de problèmes, en voici quelques unes…

Fausse conjecture n°1

n^5-10n^4+35n^3-50n^2+24n+2 est égal à 2

Toujours vrai ou non ?

 

Faisons un tableau comme précédemment :

Valeur de n n^5-10n^4+35n^3-50n^2+24n+2
0 2
1 2
2 2
3 2
4 2

Cela semble fonctionner comme précédemment…
Et pourtant, pour n=5, on obtient 122… Catastrophe !
La propriété P(n) : n^5-10n^4+35n^3-50n^2+24n+2=2 est donc vraie pour n=0, pour n=1, n=2, pour n=3, pour n=4 mais pas pour n=5… Elle n’est donc pas vraie pour tout n !

Encore plus fou, voici une autre conjecture fausse (due au mathématicien Euler) :

Fausse conjecture n°2

n^2 + n + 41 est un nombre premier.

Toujours vrai ou non ?

 

Là encore, faisons un tableau pour examiner comment les choses se passent au début :

Valeur de n n^2 + n + 41 Résultat
0 41 nombre premier
1 43 nombre premier
2 47 nombre premier
3 53 nombre premier
4 59 nombre premier
5 71 nombre premier

Et là, vous pouvez continuer longtemps, longtemps… vous allez longtemps trouver un nombre premier comme résultat. À tel point que vous allez finir par être convaincu que cette conjecture est vraie… Il faut aller jusqu’à l’étape n=40 pour avoir un contre-exemple. En effet, lorsque n=40, on a :

40^2 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 = 40 \times 41 + 41 = 41(40 + 1) = 41^2

Et 41^2 est évidemment un nombre composé (c’est-à-dire non premier).
La propriété P(n) : n^2 + n + 41 est un nombre premier est donc vraie pour n allant de 0 à 39 mais pas pour n=40… C’est flippant hein ?

Nous venons donc de constater que lorsqu’on considère une propriété mathématique  P(n), on peut rencontrer toutes sortes de scénarios : elle peut être vraie au début mais plus à partir d’un certain rang, elle peut être toujours fausse, elle peut être fausse au début et devenir toujours vraie à partir d’un certain rang, elle peut être toujours vraie etc.

Le principe de raisonnement par récurrence va nous servir uniquement pour démontrer que la propriété mathématique est vraie pour tous les entiers n (ou à la rigueur vraie à partir d’un certain entier n_0).

Nous avons assez parlé, il est temps de coucher noir sur blanc ce fameux principe de raisonnement :

Considérons une propriété P(n).

SI les deux conditions suivantes sont satisfaites :

1°) On a P(n_0) (autrement dit, la propriété est satisfaite à partir d’un certain rang n_0) (initialisation) ;

2°) P(n) \Longrightarrow P(n+1) pour tout n \geq n_0 (autrement dit, le fait que la propriété soit satisfaite au rang n implique le fait qu’elle soit satisfaite au rang n+1) (hérédité).

ALORS

On aura P(n) pour tout n \geq n_0. (autrement dit, la propriété sera satisfaite à tous les rangs à partir de n_0).

C’est exactement comme le principe des dominos exposé en début d’article.

Mais une difficulté demeure… Elle concerne la fameuse étape appelée hérédité
Comment prouver les implications P(n) \Longrightarrow P(n+1) ?
N’a-t-on pas juste déplacé le problème ?
Au départ, nous voulions prouver qu’une propriété est vraie pour tous les entiers et nous voilà à devoir prouver que l’on a l’implication P(n) \Longrightarrow P(n+1) pour tous les entiers… En quoi cela serait-il plus facile ?Eh bien, ce n’est pas forcément plus facile. En réalité, tous dépend des informations que l’on dispose ! Si on nous demande de prouver que :

3^n-1 est un nombre pair, quel que soit l’entier n

il n’y a point besoin de récurrence : on peut faire un raisonnement direct en disant que le produit de nombres impairs est toujours un nombre impair. Par conséquent, 3^n est un nombre impair, quel que soit n. On en déduit bien que 3^n-1 est un nombre pair, quel que soit l’entier n. Nous n’avons pas eu besoin de faire de récurrence. On a pu prouver directement que la propriété est vraie pour tous les entiers, en s’appuyant sur d’autres connaissances (le produit de nombres impairs).

Mais reprenons maintenant le cas de 6^n-1 évoqué plus haut. Peut-on adapter le raisonnement que nous venons de faire ? On pourrait dire que 6^n est un multiple de 6. Et puis ? Le fait de retrancher 1 à un multiple de 6 donne-t-il obligatoire un multiple de 5 ? Non bien sûr… Penser à 12 ou 18 par exemple. Dans ce cas là, le raisonnement direct semble plus difficile à élaborer (nous n’avons pas dit impossible…). Alors voyons si ce n’est pas plus simple de prouver l’hérédité, c’est-à-dire le caractère transmissible d’une propriété. Supposons, momentanément, que 6^n-1 soit effectivement un multiple de 5. Cela signifierait qu’il existe un entier k tel que :

6^n-1 = 5k

sous cette hypothèse, qu’en est-il de 6^{n+1}-1 ?
Effectuons un petit calcul mené stratégiquement pour faire le lien entre l’étape n et l’étape n+1 :

6^{n+1}-1 = 6 \times 6^n - 1 = 6 \times 6^n - 6 + 5 = 6(6^n - 1) + 5

Or, nous avons supposé que 6^n-1 = 5k. On peut donc poursuivre le calcul :

6^{n+1}-1 = 6 \times 5k + 5 = 30k + 5 = 5 \times (6k + 1)

Notons k' l’entier 6k + 1.

Ainsi, le calcul précédent montre que :

6^{n+1}-1 = 5k'

Cela signifie-t-il que 6^{n+1}-1 est assurément un multiple de 5 ?… Hum… on pourrait être tenté de le dire… Mais, pas si vite… Attendez… N’oublions pas que nous avions fait une hypothèse au départ, à savoir que 6^n-1 était un multiple de 5. Alors, que montre le calcul précédent ?

Il montre que SI 6^n-1 est un multiple de 5, ALORS à son tour,  6^{n+1}-1 est aussi un multiple de 5. Et cela, quel que soit l’entier n considéré. Mais, mais, mais… nous venons donc de démontrer le caractère héréditaire de la propriété ! Et comme, par ailleurs, la propriété est initialisée puisque pour n=0, on a 6^0-1= 1-1=0=0 (faut-il rappeler que 0 est un multiple de tous les entiers, donc en particulier de 5), le raisonnement par récurrence s’achève et nous permet d’affirmer, en conclusion, qu’effectivement, pour tous les entiers naturels n, 6^n-1 est bien un multiple de 5.

Finalement, quand est-ce qu’il faut privilégier un raisonnement par récurrence par rapport à un raisonnement direct ?

On privilégie le raisonnement par récurrence lorsqu’il est plus facile de prouver le caractère héréditaire que de prouver le caractère de vérité !
Autrement dit, lorsqu’il est plus facile de prouver que :

pour tout n, P(n) \Longrightarrow P(n+1)

que :

pour tout n, P(n)

Bien noter que le caractère héréditaire ne devient vrai que s’il initialisé. En l’absence d’initialisation, une propriété peut très bien être héréditaire sans être vraie ! (Voir les compléments en fin d’article)

Tout cela est très littéraire. Mais concrètement, comment rédiger la récurrence précédente de façon synthétique ? C’est la deuxième partie de cet article… La rédaction efficace et rigoureuse. Nous allons reprendre l’exemple précédent et donner d’autres exemples.

Partie II – Bien rédiger une récurrence

Exemple 1

Enoncé : démontrer que 6^n-1 est un multiple de 5, pour tout n.

 

Solution

• Considérons la propriété P(n) : il existe un entier k tel que 6^n-1=5k

• On a 6^0-1= 1 - 1 = 0 = 5 \times 0 d’où P(0).

• Soit n un entier naturel et supposons P(n) : il existe un entier k tel que 6^n-1=5k. Alors :

6^{n+1} - 1 = 6 \times 6^n - 1 = 6(5k + 1) - 1 = 30k + 5 = 5(6k + 1)

Il existe donc un entier k'=6k+1 tel que 6^{n+1} - 1 = 5k'.

On a donc montré que P(n) \Longrightarrow P(n+1) pour tout n \geq 0

• En conclusion, d’après le principe de raisonnement par récurrence, on a bien 6^n-1 est un multiple de 5, pour tout n.

 

On constate sur cet exemple que la rédaction d’une récurrence tient essentiellement en 4 points :

• on précise la propriété de travail P(n) ;

• on prouve que la propriété est initialisé (en 0 ou en n_0) ;

• on prouve que la propriété est héréditaire (à partir de 0 ou de n_0) ;

• on conclut.

Remarque sur l’exemple ci-dessus. Il y a très souvent plusieurs chemins pour parvenir à un résultat.

Une personne futée et expérimentée peut se passer de récurrence pour faire cette démonstration… Il suffit de considérer la somme suivante (qui est une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique) :

\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} 6^k = \frac{6^n-1}{5}

Et on constate immédiatement que 6^n-1 est un multiple de 5 puisque :

\displaystyle 6^n-1 = 5 \left(\sum_{k=0}^{n-1} 6^k \right)

Mais cette ruse (classique) n’est pas à la portée d’un élève standard arrivant en terminale.

Exemple 2 (avec une suite définie par récurrence)

Enoncé

On considère la suite (u_n) définie par :

\left\{\begin{array}{rcl}u_0&=&0\\u_{n+1}&=&3u_n-2n+3\end{array}\right.

Démontrer que pour tout entier naturel n, on a u_n \geq n

 

Solution

• Considérons la propriété P(n) : u_n \geq n

• On a u_0 = 0 \geq 0 d’où P(0).

• Soit n un entier naturel et supposons P(n) : u_n \geq n.

Alors :

u_{n+1}= 3 u_n - 2n + 3 \geq 3n - 2n + 3 \geq n + 1

Ce qui est P(n+1).

On a donc montré que P(n) \Longrightarrow P(n+1) pour tout n \geq 0

• En conclusion, d’après le principe de raisonnement par récurrence, on a bien u_n \geq n pour tout n.

Remarque : on en déduit, par comparaison, que : \displaystyle \lim_{n \to {+\infty}} u_n = {+\infty}

Exemple 3 (où l’initialisation est fixée à n=1)

Enoncé

Démontrer que pour tout entier naturel n \geq 1, on a \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

 

Solution

• Considérons la propriété P(n) : \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} pour n \ge 1

• On a \displaystyle \sum_{k=1}^1 k^2 = 1 = \frac{1 \times 2 \times 3}{6} d’où P(1).

• Soit n un entier naturel supérieur à 1 et supposons :

P(n) : \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Alors :

\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 + (n+1)^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2

Réduisons au même dénominateur et factorisons par (n+1) :

\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{(n+1)\bigl[n(2n+1)+6(n+1)\bigr]}{6}

\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}

Ce qui est P(n+1).

On a donc montré que P(n) \Longrightarrow P(n+1) pour tout n \geq 1

• En conclusion, d’après le principe de raisonnement par récurrence, on a bien \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Remarque sur l’exemple ci-dessus : on peut se demander comment calculer la somme si on n’a pas conjecturé la formule ?… Et c’est là qu’on prend conscience d’une faiblesse du raisonnement par récurrence :

On ne peut envisager une récurrence que si l’on a conjecturé la propriété à démontrer !

Un élève standard peut-il deviner la formule pour calculer la somme des carrés des n premiers entiers naturels non nuls ?

\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Pas vraiment non… Alors heureusement qu’elle est gentiment proposée dans l’énoncé !
Mais si cela intéresse le lecteur, on peut la retrouver par télescopage
Hein ? Quoi ? C’est quoi ce nouveau truc encore ?

Par linéarité de la somme :

\displaystyle \sum_{k=1}^n (k+1)^3 = \sum_{k=1}^n k^3 + 3\sum_{k=1}^n k^2 +3\sum_{k=1}^n k +\sum_{k=1}^n 1

\displaystyle \sum_{k=1}^n (k+1)^3 - \sum_{k=1}^n k^3 = 3\sum_{k=1}^n k^2 + 3\frac{n(n+1)}{2}+ n

Par télescopage, les deux sommes du membre de gauche se compensent sauf deux termes extrêmes :

\displaystyle (n+1)^3 - 1 = 3\sum_{k=1}^n k^2 + 3\frac{n(n+1)}{2}+ n

\displaystyle n^3 + 3n^2 + 3n = 3\sum_{k=1}^n k^2 + 3\frac{n(n+1)}{2}+ n

Multiplions par 2 :

\displaystyle 2n^3 + 6n^2 + 6n = 6\sum_{k=1}^n k^2 + 3n(n+1)+ 2n

Factorisons par n :

\displaystyle n \bigl[2n^2 + 6n + 6 - 3(n+1)-2\bigr] = 6\sum_{k=1}^n k^2

\displaystyle n(2n^2 + 3n + 1) = 6\sum_{k=1}^n k^2

Or, on constate facilement que 2n^2 + 3n + 1=(2n+1)(n+1) d’où :

\displaystyle 6\sum_{k=1}^n k^2 = n(n+1)(2n+1)

D’où le résultat… Mais tout ça, c’est une autre histoire !

Partie III – Compléments

Exemple de propriété héréditaire ET fausse

Considérons la suite (u_n) définie par

\left\{\begin{array}{rcl}u_0&=&2\\u_{n+1}&=&3u_n-2\end{array}\right.

Et considérons la propriété suivante :

P(n) : u_n = 1

Il est très facile de prouver que cette propriété est héréditaire pour n \geq 0. En effet, supposons que l’on ait P(n) : u_n = 1 pour un certain n \geq 0, alors :

u_{n+1} = 3 u_n - 2 = 3 \times 1 - 2 = 1

Et cela correspond à l’énoncé de P(n+1).

On a donc bien P(n) \Longrightarrow P(n+1) pour tout n \geq 0.

Cette propriété est héréditaire.

Mais soyons fou et formulons une autre propriété affirmant, pour chaque indice n, exactement le contraire de la propriété précédente :

Q(n) : u_n \neq 1

Il est très facile de prouver que cette nouvelle propriété est également héréditaire pour n \geq 0. En effet, supposons que pour un certain n \geq 0, on ait :

Q(n) : u_n \neq 1

Alors :

3 u_n \neq 3

3 u_n - 2 \neq 1

C’est-à-dire :

u_{n+1} \neq 1

Et cela correspond à l’énoncé de Q(n+1).

On a donc bien Q(n) \Longrightarrow Q(n+1) pour tout n \geq 0.

Cette propriété est aussi héréditaire.

On voit sur cet exemple que des propriété opposées, qui affirment une chose et son contraire peuvent toutes deux être héréditaires. Or, manifestement, elles ne peuvent pas toutes deux être vraies ! Alors, laquelle des deux est vraie ? Eh bien, celle qui est initialisée et c’est la propriété Q qui l’est puisque u_0 \neq 1. Du coup, la propriété P ne sera jamais initialisée (puisqu’aucun terme de la suite ne vaut 1). C’est donc une propriété tout le temps fausse… Alors qu’elle était héréditaire…

 

Exemple de propriété initialisée à un certain rang mais héréditaire à partir d’un autre rang

Pour que le principe de récurrence s’applique, il est nécessaire que la propriété soit initialisée à un certain rang ET qu’elle soit héréditaire à partir DU MÊME RANG ! Si l’hérédité commence à un rang strictement supérieur de celui de l’initialisation, alors on ne peut rien en déduire !

C’est ainsi qu’on peut élaborer subtilement de fausses démonstrations du genre :

« tous les points du plan sont alignés« 

ou encore :

« tous les chevaux sont blancs« 

En effet, considérons la propriété suivante :

P(n) : n points du plan sont toujours alignés pour n \geq 1

Il est clair qu’un point seul est toujours aligné avec lui même, on a donc P(1).
On a aussi P(2) puisque deux points sont toujours alignés.

Cette propriété est donc initialisée pour n=1.

Voyons l’hérédité et supposons P(n) pour n \geq 1.
Considérons alors une famille de n+1 points que nous noterons :

A_1, A_2, ... , A_{n}, A_{n+1}

Alors, d’après notre hypothèse de récurrence, nous savons d’une part que dans la sous-famille de n points A_1, A_2, ... , A_{n}, ils sont tous alignés. Mais, par ailleurs, dans la sous-famille de n points A_2, ... , A_{n}, A_{n+1}, ils sont également tous alignés. Par conséquent, le point A_{n+1} est aligné avec les précédents. D’où P(n+1).

En conclusion : quelle que soit la famille de n points donnés, ils seront donc toujours alignés… ???

Où est la faille ?

La faille est dans le raisonnement que nous faisons pour l’hérédité. Ce raisonnement est correct à condition d’avoir au moins trois points au départ ! Si on n’en a que deux, on voit facilement en faisant un dessin qu’on ne peut pas en déduire qu’un troisième point sera aligné avec les deux premiers. En fait, la propriété est héréditaire pour n \geq 3. Mais elle n’est initialisée que pour n=1 et n=2, pas pour n=3 ! Le principe de raisonnement par récurrence ne peut donc pas s’appliquer !

BAC 2021 – Réforme

Dès la session 2021, le baccalauréat sera réformé. Il n’y aura plus la classique semaine d’épreuves du mois de juin avec toutes les matières habituelles (philosophie, Histoire & Géographie, Langues Vivantes, SVT, Physique Chimie, Mathématiques, etc.).

Une grande partie du baccalauréat se déroulera désormais sous forme de « contrôle continu ». Les élèves seront donc en évaluation permanente (donc davantage de stress). En plus d’un tronc commun, ils choisiront 3 spécialités en première et en garderont 2 pour la terminale. Il y aura évidemment une spécialité maths. Ces spécialités seront évaluées lors d’épreuves finales (contrairement au tronc commun évalué en contrôle continu, sauf philo). Donc, en ce qui concerne les mathématiques, cela ne changera pas grand chose à l’organisation.

La réforme s’accompagnera d’une évolution des programmes et nos questions-types suivront évidemment cette évolution. Vous serez donc toujours parfaitement accompagnés pour réussir votre scolarité et donc votre orientation.

Pour plus de détails sur cette réforme et notamment l’évolution de l’enseignement des mathématiques, consulter le site suivant http://specialite-maths.fr :

BAC 2021

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Bien sûr, il est facile de trouver un « prof de maths » pour des cours particuliers sur des sites d’annonces ou des sites spécialisés. Mais on ne sait jamais à qui on a affaire et les prix tournent aux alentours de 30 € de l’heure.

Par expérience, il faut essayer parfois 2 ou 3 profs différents avant de tomber sur un prof avec lequel il y a un bon feeling.

Par ailleurs, pour progresser en maths, un travail régulier est recommandé. Admettons que vous prenez une heure par semaine de cours de maths à 30 € / h. Une année scolaire est constituée d’une trentaine de semaines ouvrables. Cela fait un budget à prévoir de :

30 x 30  = 900 € pour l’année

C’est énorme ! Et encore, certains élèves prennent souvent des cours particuliers durant les petites vacances pour ne pas perdre la main. Au final, le budget annuel avoisine un millier d’euros.

Toutes les familles ne peuvent pas se le permettre. Et même pour les familles qui peuvent se le permettre, il n’est pas dit que les cours particuliers soient la méthode la plus efficace pour travailler. Voir notre article : faut-il prendre des cours particuliers ?

En fait, les progrès en maths passent nécessairement par un pas en avant dans l’autonomie.  Si l’élève est perpétuellement assisté par un prof qui a tendance à trop le seconder, il ne progressera pas. Cela ne signifie pas qu’il ne faut jamais être aidé bien sûr, il faut une impulsion initiale qui libère les appréhensions et après on peut être autonome. Mais l’élève ne peut pas inventer ses propres exercices ! C’est pourquoi nous avons créé les questions-type-bac qui permettent à l’élève de progresser à son rythme (les exercices sont classés par difficulté) et thème par thème. Téléchargez nos documents ou nos chapitres ; vous serez surpris de voir les progrès réalisés.

Et le coût ? Il faut compter environ 20 € pour avoir un document qui recense l’ensemble des questions types de terminale (pour le BAC S ou pour le BAC ES). Un seul paiement unique de 20 € pour toute l’année… Alors que des cours particuliers hebdomadaires reviennent à 900 €.  Cela revient donc 45 fois moins cher de travailler avec nos questions-types !

Pour info, tous les élèves qui ont travaillé nos questions-types ont eu leur bac ! Et pour beaucoup, avec mention ! Alors, n’attendez pas la dernière minute et planifiez votre travail ou vos révisions le plus amont possible, vous ne le regretterez pas. La seule chose qu’on regrette avec une méthode qui marche, c’est pourquoi n’ai-je pas adopté cette méthode avant !

Travailler ses maths pendant les vacances

À la fin de l’année scolaire, il arrive parfois que le conseil de classe du troisième trimestre émette quelques réserves quant au passage dans la classe supérieure. Certains élèves ou certaines familles envisagent alors de mettre à profit les deux mois de vacances d’été pour réviser/travailler/approfondir certaines matières.
C’est aussi le cas d’élèves qui n’ont pas de difficultés particulières mais qui souhaitent anticiper sur l’année suivante en travaillant en amont les programmes de l’année suivante en vue, par exemple, d’obtenir une mention au baccalauréat.
Mais prendre des cours particuliers avec un professeur revient cher. Le tarif horaire est en général de 30 € ; pour 8 séances, il faut donc prévoir un budget de 240 €. Et ça, c’est juste pour une matière ! De plus, rien ne garantit que le feeling avec le professeur soit bon. Souvent, le professeur assiste un peu trop l’élève, voire il résout les exercices à sa place (pour lui montrer que, lui, il sait faire) et au final, l’élève n’a pas appris grand chose. De plus, travailler sous le regard d’une personne est parfois anxiogène.
En maths, on peut très bien travailler seul. Il suffit de se motiver et d’en avoir la volonté. Avec de bons supports, bien conçus, progressifs et corrigés, on avance à son rythme et on peut être très efficace.
C’est pourquoi, si vous souhaitez réviser vos maths pendant les vacances d’été pour, par exemple, bien réussir votre entrée en terminale, nous vous conseillons de travailler avec les questions-type-bac. De nombreux élèves ont fait d’énormes progrès avec ces documents, alors pourquoi pas vous ? Vous pouvez aussi télécharger les questions-types par chapitres, vous aurez « la totale » mais en fragments : des exercices gradués, des rappels de cours etc. Idéal pour tester le principe…
Et parlons du prix : l’ensemble des questions-types pour toute l’année de terminale coûte une vingtaine d’euros, donc moins qu’un seul cours particulier. Avec ce document, vous pourrez préparer/travailler/réviser/ tous les chapitres de toute l’année ! Si vous prenez une heure de cours chaque semaine pendant toute l’année, il vous en coûtera environ 30 € x 30 semaines = 900 € sur l’année. Sans pour autant être certain que ce soit plus efficace. Il n’y a pas photo ! Les questions-types sont LA solution pour vous :

Nos questions-type-bac (avec ou sans rappels de cours)
Nos questions-type-bac « light » (avec des exercices plus faciles)
Nos questions-type-bac par chapitres

Prenez les devants ! N’attendez pas les derniers moments ! Quand la réussite arrive enfin, on se dit toujours « pourquoi ne m’y suis-je pas pris plus tôt pour profiter pleinement de cette réussite et éviter le stress !« 

Bien préparer sa rentrée

Vous arrivez en terminale S ou ES en 2018 ? Il est important de ne pas rater « le train en marche » ! En effet, en général, la rentrée se traduit par de nouveaux profs, de nouveaux rythmes et il y a toujours un certain temps d’adaptation pour l’élève, temps d’adaptation qui doit être le plus court possible pour éviter le risque de couler !

Afin de rester à flots et de vous permettre d’avancer au rythme de la vague, nous vous conseillons une démarche très concrète : travailler par questions-types ! Ainsi votre objectif est double : d’une part, vous travaillez le chapitre que vous êtes en train d’étudier en cours et d’autre part, vous vous préparez dès le mois de septembre aux épreuves du baccalauréat !

Bien sûr, vous pourriez être tenté de suivre des cours particuliers mais, à la longue, cela revient cher ! Pour le prix d’un seul cours particulier, vous trouverez dans nos documents des exercices sur tous les chapitres de l’année, avec des corrigés très détaillés, des explications complètes et claires ainsi que les rappels des points essentiels du cours ! Que demander de plus ? En travaillant régulièrement avec nos questions-types, vous allez vite progresser et vous rendre compte que le baccalauréat, c’est difficile, oui,  mais c’est juste difficile pour ceux qui n’auront pas la chance de travailler avec les mêmes supports que vous !

Fiche Magique – BAC S

Est-il possible d’avoir une fiche de résumé de 2 pages pour réviser tout le programme de terminale en 2 heures ?

Cette question est souvent posée en fin d’année par des élèves qui n’ont sûrement pas assez travaillé et qui sont en panique à l’approche du baccalauréat…

La plupart des professeurs répondront que ce n’est pas possible. Le travail de toute une année ne peut pas se résumer en 2h de travail et en 2 pages de résumé !…

Pourtant, nous avons relevé le défi en créant cette fiche spécialement pour ces élèves en difficultés !

Oui ! Vous avez bien lu : l’essentiel du programme de TS sur 2 pages très étoffés. On y retrouve quasiment toutes les notions, avec des mini rappels de cours et des mini applications.

Sur ces deux pages, nous avons donc réussi à faire tenir les notions suivantes :

Récurrence, Suites, Suites géométriques (y compris sommes et limites), suites arithmético-géométriques, nombres complexes (conjugué, module, arguments, formes trigonométriques et exponentielles, calcul d’angles), géométrie dans l’espace (produit scalaire, vecteurs orthogonaux, équation cartésienne de plan, système d’équations paramétriques de droites), probabilités conditionnelles (y compris indépendance), dérivées et primitives, fonctions exponentielles et logarithmes, lois de probabilités (loi binomiale, loi exponentielle, loi normale), intégrales, intervalles de fluctuation et algorithmes (calcul de termes, calcul de seuil, sommations, dichotomie)…

Tout cela sur deux pages seulement avec des mini-exemples très pédagogiques pour bien comprendre ! Voici à quoi ressemble cette fiche :Alors, bien sûr, on est d’accord, si vous souhaitez une préparation au top, rien ne vaut nos documents phares sur les questions types mais si vous n’avez plus le temps de faire ce travail ou si vous souhaitez faire une révision « express », cette FICHE MAGIQUE est faite pour vous !

FICHE MAGIQUE – BAC S – 2019 (Enseignement obligatoire seul)
Fiche Magique BAC S
Calculatrices Casio
Fiche Magique BAC S
Calculatrices TI

A l’issue de votre achat, vous pourrez télécharger le(s) document(s) complet(s).

Se préparer à l’oral de rattrapage

Vous n’avez pas eu la chance -jusqu’à présent- de travailler ou réviser avec nos documents sur les questions-types et vous devez vous rendre à l’oral de rattrapage (second tour) du bac en mathématiques…

Rassurez-vous, nous allons vous donner tous les tuyaux pour bien réussir cette épreuve !

Devez-vous choisir les maths à l’oral de rattrapage ?

Pour le second groupe d’épreuves (oraux de rattrapage), vous devrez choisir deux matières. Ce choix est toujours difficile à faire par les candidats d’autant que certaines matières (comme les maths) peuvent impressionner à l’oral.
Alors comment faire son choix ? C’est très simple ! Nous vous conseillons de choisir les matières pour lesquelles l’écart entre la note obtenue sur votre livret scolaire et la note obtenue à l’écrit est le plus grand. En effet, à l’oral de rattrapage, l’examinateur prend sensiblement en compte les informations contenues dans le livret scolaire et il est envisageable pour vous d’obtenir une note au moins égale à celle de ce livret. Mais il va falloir vous préparer un minimum !
Prenons un exemple : vous passez le BAC S (maths coefficient 7) et vous avez obtenu un 6 à l’écrit alors que vous avez un 11 de moyenne annuelle sur votre livret scolaire. Cela fait un gros différentiel de points et vous avez tout intérêt à choisir les maths ! Vous pourrez alors raisonnablement espérer rattraper un total de 5 x 7 = 35 points !

Comment se déroule l’oral de rattrapage en maths ?

  1. Selon les textes officiels, vous devez être interrogés sur deux thèmes différents du programme.
  2. L’examinateur vous propose donc un sujet avec deux petits exercices : vous disposez de 20 minutes de préparation puis 20 minutes d’exposé (au tableau ou face à l’examinateur). La difficulté de ces exercices doit être un peu plus modeste que ceux des épreuves écrites.
  3. Lors de l’entretien, l’examinateur peut être amené à vous aider en cas de difficultés. Il peut également poser des questions de cours pour vérifier vos acquis. S’il vous sent « à l’aise », il peut également poser une ou deux questions de prolongement afin de valoriser votre note.

Comment se préparer ?

Le problème de l’oral de rattrapage est que vous ne disposez que de quelques jours pour vous préparer. Heureusement, nos professeurs sont tous des examinateurs au baccalauréat et ont une grande expérience de ces épreuves. Nous vous proposons donc, ici même, des compilations de sujets-types vous permettant de vous préparer de façon optimale en un minimum de temps ! Ces documents sont confidentiels ! Ils comportent chacun 22 exercices (11 sujets constitués de deux exercices sur des thèmes différents). L’ensemble du programme du BAC S et du BAC ES est couvert dans ces documents. Disposer des corrigés de ces documents vous donnera toutes les chances de réussite pour votre oral et d’en ressortir avec votre BAC en poche !

11 SUJETS TYPE BAC S – ORAL MATHS 2019

Enoncés seuls (7 pages)
Enoncés + corrigés + prolongements (27 pages)
Pour une préparation optimale !
Voir un extrait gratuit (premier sujet avec corrigé) : Extrait

11 SUJETS TYPE BAC ES – ORAL MATHS 2019

Enoncés seuls (7 pages)
Enoncés + corrigés + prolongements (23 pages)
Pour une préparation optimale !
Voir un extrait gratuit (premier sujet avec corrigé) : Extrait

A l’issue de votre achat, vous pourrez télécharger le(s) document(s) complet(s).

Enfin, si vous souhaitez disposer également de rappels de cours et d’exercices-types supplémentaires, nous vous conseillons également nos documents de préparation à l’écrit qui restent totalement adaptés (puisqu’il s’agit des mêmes programmes !). A contrario, si vous n’avez plus assez de temps pour travailler, téléchargez nos fiches magiques qui vous permettront une révision express du programme de TS en 2h chrono !

Note importante : si vous trouvez des sujets d’exercices de maths pour l’oral du bac sur d’autres sites, assurez-vous qu’il s’agisse bien des programmes de maths de 2019 (*) ! Les exercices que nous proposons sur le site question-type-bac sont toujours conformes aux derniers programmes en vigueur !

(*) à notre connaissance, il n’en existe pas ailleurs qu’ici !

Les calculatrices au bac


Info 2018 ! Le mode examen est reporté à la session 2019… Pour le bac 2018, vous pourrez encore venir passer les épreuves avec une calculatrice classique !


De nombreuses questions récurrentes nous parviennent régulièrement concernant le sujet de l’usage des calculatrices au baccalauréat. Peuvent-elles être interdites ? Quid du « mode examen » ? Cet article va vous aider à faire le point en répondant à vos questions.
Notons que dans ce domaine, il y aura l’avant 2019 et l’après 2019…

L’avant 2019 – Pas de mode « examen »

Question n°1 – Les calculatrices peuvent-elles être interdites à l’épreuve de maths ?
Réponse : OUI !

Oui mais… rassurez-vous, en théorie ! En effet, les textes officiels précisent que la calculatrice peut être interdite et que cette interdiction est précisée sur le sujet. Aucun moyen de le savoir à l’avance.  Heureusement, si cela se produit assez régulièrement pour l’épreuve de Sciences-Physiques, cela n’est jamais arrivé pour l’épreuve de mathématiques ! Et on a d’ailleurs du mal à imaginer que cela le soit un jour vu qu’en haut lieu, on souhaite toujours avoir des taux de réussite en augmentation…
La réponse est donc OUI en théorie mais en pratique, il est quasiment certain que la calculatrice ne sera pas interdite ! Ouf !

Question n°2 – Peut-on prêter sa calculatrice à un autre candidat lors des épreuves ?
Réponse : NON !
Il ne faut pas rêver ! Ce serait trop facile de se faire passer une calculatrice avec tous les résultats ou autres informations encore à l’écran, c’est de la fraude, donc c’est interdit !

Question n°3 – Peut-on avoir deux calculatrices sur la table lors des épreuves ?
Réponse : NON !
Hélas non ! Une seule calculatrice sur table est autorisée. Mais on peut en avoir une de secours dans son sac et demander au surveillant de changer en cas de panne de la première.

Question n°4 – Peut-on avoir des « anti-sèches » ou autres programmes dans la calculatrice le jour de l’épreuve ?
Réponse : NON !
En effet, c’est assimilé à de la fraude comme le fait d’avoir une anti-sèche dans sa trousse ou sa poche. Notons qu’il y a déjà eu une décision de justice condamnant un candidat pris en flagrant délit de fraude : en effet, il était en train de consulter des notes de cours sur une TI 92 pendant une épreuve lorsqu’un surveillant passait à son niveau.
Ceci étant dit, deux remarques :
* la calculatrice est votre propriété privée. Un surveillant ne peut donc pas « fouiller » dedans pour vérifier que vous l’avez bien vidée ! Il peut juste vous demander de la vider. Il ne peut pas le faire à votre place.
* vous ne prenez tout de même pas de grands risques à consulter la mémoire (non vidée) de votre calculatrice. Tout le monde le fait ! Il suffit d’être un minimum vigilant et de ne pas le faire sous les yeux des surveillants !
Mais soyons clairs, cette pratique reste interdite ! De plus, de nombreux candidats passent et perdent du temps à chercher désespérément des informations dans leurs calculatrices. Mieux vaut avoir stocké les notions importantes dans sa tête (accès immédiat) et s’être bien préparé aux épreuves avec nos questions-types par exemple.

La situation actuelle est donc faite d’injustices et d’inégalités. Certaines calculatrices peuvent emmagasiner bien plus d’informations que d’autres. De plus, il existe des modèles performants permettant de faire du calcul formel et de vérifier une dérivée ou une limite par exemple. Face à ces problèmes, la situation va évoluer. Mais cette évolution va amplifier des problèmes d’un autre ordre…

L’après 2019 – Mise en place du « mode examen »

À partir  de la session 2019, l’épreuve va subir une nette évolution. En effet, ne seront autorisées que les calculatrices munies du « mode examen ». Le mode examen est une procédure qui désactive la mémoire de la calculatrice et certaines fonctions avancées (notamment le calcul formel). Les calculatrices munies du mode examen possèdent un voyant vert attestant de l’activation du mode. Le mode est activé à la demande des surveillants en début de l’épreuve et désactivé en fin d’épreuve en connectant la calculatrice à un ordinateur. Ce mode examen n’est, en théorie, pas désactivable par le candidat durant l’épreuve. Seule une connexion à un autre appareil le permet. Si un candidat essaye toutefois de hacker le système pour désactiver le mode examen, le voyant vert s’éteint ou vire au rouge ce qui permet au surveillant de repérer la fraude.
Le but de cette évolution est ainsi de rétablir l’égalité des candidats face à leur outil de calcul. Et ceci est plutôt une bonne chose.
Ce qui est scandaleux, c’est que les centaines de milliers de candidats au baccalauréat vont devoir racheter un nouveau modèle de calculatrice possédant ce mode examen. C’est un énorme marché juteux pour les constructeurs qui ont imposé cette évolution au gouvernement qui, comme d’habitude, suit comme un petit caniche les dictats des multinationales.

Question sur toutes les bouches – Peut-on contourner ce mode examen pendant les épreuves ?
Réponse : NON !
Pourtant, certains petits futés ont bien cru trouver une parade. En effet, une fois le mode examen activé, on n’a plus accès aux programmes et à la mémoire mais rien n’empêche d’écrire un nouveau programme. L’idée serait alors d’activer le mode examen chez soi, la veille d’une épreuve ; puis de télécharger et installer tous les programmes habituels ; et enfin d’arriver le jour de l’épreuve en disant au surveillant que le mode examen est déjà activé…  Mais cette technique ne fonctionnera pas car les surveillants auront reçu pour consigne, dans un tel cas de figure, de désactiver le mode examen et de le réactiver dans la foulée.

Faut-il prendre des cours particuliers ?

Beaucoup de familles tombent dans « le piège » des cours particuliers pensant que cela sera très bénéfique. Mais l’utilité et l’efficacité de ces cours est très aléatoire et dépend de nombreux facteurs. De plus, il existe un certain nombre d’effets pervers.

Avantages des cours particuliers
  • Ils permettent un travail régulier et étalé (à condition qu’ils viennent en complément d’un réel travail personnel) ;
  • le fait d’être en « tête à tête » oblige l’apprenant à se concentrer sur les notions (mais cela peut aussi être un inconvénient, cf. plus bas) ;
  • rassure les familles.
Inconvénients des cours particuliers
  • Très onéreux ! Les tarifs varient entre 20 et 40 € de l’heure. Cela fait un coût mensuel qui tourne dans les 100 à 150 € euros (juste pour une heure de cours hebdomadaire !) ;
  • ils sont totalement inefficaces lorsque l’apprenant s’y rend « à reculons » lorsque c’est sa famille qui l’oblige à suivre ces cours ;
  • il est difficile de trouver le « bon prof » avec qui il y a un bon feeling. Il faut parfois faire plusieurs essais avec des personnes différentes pour que le courant passe bien. C’est comme trouver un bon psy ! Pas toujours évident ;
  • le fait d’être en tête à tête avec un professeur peut avoir un effet anxiogène et inhibant. On n’arrive à plus rien faire car on est sous le regard d’une autre personne qui à tendance à juger ce que vous faites (ou juger votre incapacité).
Effets pervers des cours particuliers
  • L’élève est souvent paradoxalement moins attentif en cours normal au lycée car il se dit qu’il aura son professeur particulier qui va tout lui expliquer ;
  • souvent le professeur de cours particulier critique le cours du prof normal (c’est une façon pour lui de se mettre en valeur) ce qui décrédibilise le système scolaire aux yeux de l’apprenant. Et s’il ne croit plus aux vertus de l’enseignement, cela limite fortement ses chances de progrès ;
  • beaucoup d’élèves de cours particuliers ne cherchent plus leurs exercices par eux-mêmes et attendent le cours particulier pour le chercher avec leur professeur. Au final, ils n’auront pas progressé.

 

Alors, que faire ? Quelle est la bonne méthode pour progresser ?
Savez-vous que les plus gros progrès, on les réalise lorsqu’on se retrouve soi-même confronté à ses propres difficultés ?

Nous vous proposons une méthode nettement plus efficace et surtout nettement moins onéreuse. Téléchargez nos documents sur les questions-types. Il s’agit de mini-exercices très ciblés et conçus pour vous permettre d’aller directement à l’essentiel. Ne lisez pas tout de suite les solutions et essayez de les résoudre tout seul. Vous allez vous heurter à un certain nombre de difficultés qui vous feront prendre conscience de vos lacunes. Cette prise de conscience, cela s’appelle des progrès ! En consultant ensuite les corrigés et les conseils (rédigés par des professeurs expérimentés), vous trouverez toutes les réponses à vos questions. Au final, vous avez progressé tout seul (ce qui est extrêmement gratifiant et motivant), vous avez gagné du temps et vous ne vous êtes pas ruiné !

Alors ? Vaut-il mieux payer 20 € toutes les semaines et avoir un niveau qui stagne ou payer une seule fois 20 € et vraiment progresser ? 😉